《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 2. 已知直线$l$经过点$A(3,2)$，而且$\boldsymbol{v} = (3,-4)$是直线$l$的一个法向量，求直线$l$方程的一般式.

答案： 例2：解法一：设$P(x,y)$为平面直角坐标系中任意一点，
则点$P$在直线$l$上的充要条件是$\overrightarrow{AP}$与$\boldsymbol{v} = (3,-4)$垂直.
又因为$\overrightarrow{AP} = (x - 3,y - 2)$，所以$3 × (x - 3) + (-4) × (y - 2) = 0$，整理可得方程为$3x - 4y - 1 = 0$.
解法二：因为$\boldsymbol{v} = (3,-4)$是直线$l$的一个法向量，
所以可以设$l$的方程为$3x - 4y + C = 0$.
代入点$A(3,2)$，可求得$C = -1$，因此直线$l$的方程为$3x - 4y - 1 = 0$.

已知$P$是直线$l$上一点，且$\boldsymbol{v}$是直线$l$的一个法向量，根据下列条件分别求直线$l$的方程：
(1)$P(1,2)$，$\boldsymbol{v} = (3,-4)$；
(2)$P(-1,2)$，$\boldsymbol{v} = (3,4)$.

答案： 对点训练2：
(1)直线$l$过点$P(1,2)$，其法向量是$\boldsymbol{v} = (3, -4)$，
$\therefore$直线$l$的方程是$3(x - 1) + (-4)(y - 2) = 0$，整理，得
$3x - 4y + 5 = 0$.
(2)直线$l$过点$P(-1,2)$，其法向量是$\boldsymbol{v} = (3,4)$，
$\therefore$直线$l$的方程是$3(x + 1) + 4(y - 2) = 0$，
整理，得$3x + 4y - 5 = 0$.