《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 动点 $P(x,y)$ 在直线 $x+y-4=0$ 上, $O$ 为原点, 求当 $|OP|$ 最小时, $P$ 点的坐标;

答案：
(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时$OP$垂直于已知直线,则$k_{OP}=1$,
$\therefore OP$所在直线方程为$y=x$.
由$\begin{cases}y=x,\\x+y-4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$
$\therefore P$点坐标为$(2,2)$.

(2) 求过点 $P(1,2)$ 且与原点距离最大的直线方程.

答案：
(2)由题意知过$P$点且与$OP$垂直的直线到原点$O$的距离最大,
$\because k_{OP}=1$,$\therefore$所求直线方程为$y-2=-\frac{1}{1}(x-2)$,即$x+y -4=0$.

例5. 求经过点 $P(-3,5)$, 且与原点距离等于3的直线 $l$ 的方程.
[错解] 设所求直线方程为 $y-5=k(x+3)$,
整理, 得 $kx-y+3k+5=0$.
所以原点到该直线的距离 $d=\frac{|3k+5|}{\sqrt{k^2+1}}=3$.
所以 $15k+8=0$. 所以 $k=-\frac{8}{15}$.
故直线 $l$ 的方程为 $-\frac{8}{15}x-y+3×\left(-\frac{8}{15}\right)+5=0$,
即 $8x+15y-51=0$.
[辨析] 本题出错的根本原因在于思维不严密, 求直线的方程时直接设为点斜式, 没有考虑斜率不存在的情况.
[正解]

答案： 例5:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为$y-5=k(x+3)$,整理,得$kx-y+3k+5=0$.
所以原点到该直线的距离$d=\frac{|3k+5|}{\sqrt{k^2+1}}=3$.
所以$15k+8=0$.所以$k=-\frac{8}{15}$
故所求直线方程为$y-5=-\frac{8}{15}(x+3)$,
即$8x+15y-51=0$.
当直线的斜率不存在时,直线方程为$x=-3$也满足题意.
故满足题意的直线$l$的方程为$8x+15y-51=0$或$x=-3$.

1. 已知 $A(-1,0), B(5,6), C(3,4)$, 则 $\frac{|AC|}{|CB|}$ 的值为 (D)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.3
D.2

答案： 1.D $|AC|=\sqrt{[3-(-1)]^2+(4-0)^2}=4\sqrt{2}$,
$|CB|=\sqrt{(5-3)^2+(6-4)^2}=2\sqrt{2}$,
$\frac{|AC|}{|CB|}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$.

2. 点 $(1,-1)$ 到直线 $y=1$ 的距离是 (D)

A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.3
D.2

答案： 2.D $d=\frac{|-1-1|}{\sqrt{1+0}}=2$,故选D.

3. 已知直线 $l_1:x+y+1=0, l_2:x+y-1=0$, 则 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为 (B)

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案： 3.B $d=\frac{|1-(-1)|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.

4. 若直线 $l_1:x+my+6=0$ 与 $l_2:(m-2)x+3y+2m=0$ 互相平行, 则 $m$ 的值为 $-1$, 它们之间的距离为 $\frac{8\sqrt{2}}{3}$.

答案： 4.$-1\ \frac{8\sqrt{2}}{3}$ 由$m(m-2)-3=0$,解得$m=3$或$-1$.
经过验证,$m=3$时两条直线重合,舍去.$\therefore m=-1$.
直线$l_1:x+my+6=0$与$l_2:(m-2)x+3y+2m=0$,分别化为$x-y+6=0,x-y+\frac{2}{3}=0$.
$\therefore$它们之间的距离为$\frac{|6-\frac{2}{3}|}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$.

5. 如图, 已知 $\triangle ABC$ 的三顶点 $A(-3,1), B(3,-3), C(1,7)$.
(1) 判断 $\triangle ABC$ 的形状;
(2) 求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案： 5.
(1)解法一:$\because |AB|=\sqrt{(3+3)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$,
$|AC|=\sqrt{(1+3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$,
又$|BC|=\sqrt{(1-3)^2+(7+3)^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$,
$\therefore |AB|^2+|AC|^2=|BC|^2$,且$|AB|=|AC|$,
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形.
解法二:$k_{AC}=\frac{7-1}{1-(-3)}=\frac{3}{2},k_{AB}=\frac{-3-1}{3-(-3)}=-\frac{2}{3}$,
$\therefore k_{AC}· k_{AB}=-1$,$\therefore AC\perp AB$.
又$|AC|=\sqrt{(1+3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$,
$|AB|=\sqrt{(3+3)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$,
$\therefore |AC|=|AB|$,$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形.
(2)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|AC|·|AB|=\frac{1}{2}×(\sqrt{52})^2=26$,
$\therefore \triangle ABC$的面积为$26$.