《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 2. 设抛物线的方程为$y = ax^{2}(a\neq0)$，求抛物线的焦点坐标与准线方程.

答案： 例2:抛物线方程$y = ax^{2}(a \neq 0)$化为标准形式:$x^{2}=\frac{1}{a}y$,
当$a ＞ 0$时,则$2p=\frac{1}{a}$,解得$p=\frac{1}{2a},\frac{p}{2}=\frac{1}{4a}$,
$\therefore$焦点坐标是$\left(0, \frac{1}{4a}\right)$,准线方程是$y=-\frac{1}{4a}$.
当$a ＜ 0$时,则$2p=-\frac{1}{a},\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a}$,
$\therefore$焦点坐标是$\left(0, \frac{1}{4a}\right)$,准线方程是$y=-\frac{1}{4a}$.
综上,焦点坐标是$\left(0, \frac{1}{4a}\right)$,准线方程是$y=-\frac{1}{4a}$.

已知抛物线$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的准线经过点$( - 1,1)$，则该抛物线焦点坐标为

A.$( - 1,0)$
B.$(1,0)$
C.$(0, - 1)$
D.$(0,1)$

答案： 对点训练2:B 由抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$得准线$x=-\frac{p}{2}$,
因为准线经过点$(-1,1)$,所以$p = 2$,所以抛物线焦点坐标为$(1,0)$,故选B.

例 3. (1) 已知$P(2,2)$为抛物线$C:y^{2}=2px(p ＞ 0)$上一点，抛物线$C$的焦点为$F$，则$|PF| =$
A.$2$
B.$\frac{5}{2}$
C.$3$
D.$\frac{7}{2}$

答案： 例3:
(1)B 将$P(2,2)$代入抛物线$C$的方程得$2^{2}=2p × 2$,
即$p = 1$,则由抛物线的定义得$|PF|=2+\frac{p}{2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$,故选B.

(2) 已知抛物线$C:y^{2}=x$的焦点为$F$，$A(x_{0},y_{0})$是$C$上一点，$|AF| = \frac{5}{4}x_{0}$，则$x_{0} =$
A.$4$
B.$2$
C.$1$
D.$8$

答案：
(2)C 由抛物线$C$的方程知$p=\frac{1}{2}$,则由抛物线的定义得$|AF|=x_{0}+\frac{p}{2}=x_{0}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}x_{0}$,解得$x_{0}=1$.故选C.

已知抛物线$C:y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点为$F$，点$P$在抛物线$C$上，且$|PF| = \frac{3p}{2}$，则$\cos\angle PFx =$

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
对点训练3:C 如图所示,过点$P$作抛物线$C$的准线的垂线,垂足为$D$,过点$F$作$PD$的垂线,垂足为$E$,
则$|DE|=p$,由抛物线定义知$|PD|=|PF|=2$,则$|PE|=|PD|-|DE|=\frac{3p}{2}-p=\frac{p}{2}$.在$Rt \triangle PEF$中,$\sin \angle PFE=\frac{|PE|}{|PF|}=\frac{\frac{p}{2}}{2}=\frac{p}{4}=\frac{1}{3}$,所以$\cos \angle PFx=\cos(90^{\circ}-\angle PFE)=\sin \angle PFE=\frac{1}{3}$,
故选C.

例 4. 已知动圆$P$与定圆$A:(x + 2)^{2}+y^{2}=1$外切，且与直线$l:x = 1$相切，则动圆圆心$P$的轨迹方程为

A.$y^{2}=4x$
B.$y^{2}=2x$
C.$y^{2}= - 4x$
D.$y^{2}= - 8x$
[分析] 由条件确定动点$P$到点$A$的距离与它到直线$l$的距离的关系，由此即可得动圆圆心$P$的轨迹方程.

答案：
例4:D 如图,
设动圆圆心$P(x,y)$,过点$P$作$PD \perp l$于点$D$,作直线$l':x=2$,过点$P$作$PD' \perp l'$于点$D'$,连接$PA$.
因为动圆$P$与定圆$A:(x + 2)^{2}+y^{2}=1$外切,且与直线$l:x = 1$相切,所以$|PA|=1+|PD|$,
即点$P$到点$A$的距离比它到直线$l:x = 1$的距离大$1$.故点$P$到点$A$的距离与它到直线$l':x = 2$的距离相等,即$|PA|=|PD'|$,
根据抛物线的定义,点$P$的轨迹是以点$A$为焦点,以直线$l':x = 2$为准线的抛物线,其方程为$y^{2}=-8x$.