《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 3. 已知$F_{1}$，$F_{2}$分别为椭圆$C:\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$的左、右焦点，点$P$为椭圆$C$上的动点，求$\triangle PF_{1}F_{2}$的重心$G$的轨迹方程。

答案： 依题意知点$F_1(-1,0),F_2(1,0),$设点$P(x_0,y_0),G(x,y)。$
由三角形重心坐标关系可得$\begin{cases}x = \frac{x_0 - 1 + 1}{3}\\y = \frac{y_0}{3}\end{cases}，$即$\begin{cases}x_0 = 3x\\y_0 = 3y\end{cases}，$
代入$\frac{x_0^2}{4} + \frac{y_0^2}{3} = 1，$得$\triangle PF_1F_2$的重心G的轨迹方程为$\frac{9x^2}{4} + 3y^2 = 1(y \neq 0)。$

例 4. $A$，$B$是抛物线$y^{2} = 4ax(a ＞ 0)$上的两动点，且$OA \perp OB$，$OP \perp AB$，垂足为点$P$，求动点$P$的轨迹。

答案： 设点P的坐标为(x,y),直线OA的方程为y = kx,显然$k \neq 0,$则直线OB的方程为$y = -\frac{1}{k}x。$
由$\begin{cases}y = kx\\y^2 = 4ax\end{cases}，$解得A点的坐标为$(\frac{4a}{k^2},\frac{4a}{k})，$
同理,可得B点的坐标为$(4ak^2,-4ak)，$
从而知当$k \neq \pm 1$时，$k_{AB} = \frac{\frac{4a}{k} + 4ak}{\frac{4a}{k^2} - 4ak^2} = \frac{1}{k}，$
故得直线AB的方程为$y + 4ak = \frac{1}{k}(x - 4ak^2)，$
即$(\frac{1}{k} - k)y + 4a = x ①，$
直线OP的方程为$y = -(\frac{1}{k} - k)x ②，$
则点P的坐标同时满足①②，
由②得$\frac{1}{k} - k = -\frac{y}{x}，$代入①，得$ -y^2 + 4ax = x^2，$
即$(x - 2a)^2 + y^2 = 4a^2(x \neq 0)。$
当$k = \pm 1$时，容易验证P点的坐标仍适合上述方程。
故点P的轨迹方程为$(x - 2a)^2 + y^2 = 4a^2(x \neq 0)，$它表示以点(2a,0)为圆心，以2a为半径的圆除去坐标原点后的部分。