《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 1. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$F(1,0)$，直线$l:x = -1$，点$P$在直线$l$上移动，$R$是线段$PF$与$y$轴的交点，动点$Q$满足$RQ \perp PF$，$PQ \perp l$。求动点$Q$的轨迹方程$E$。

答案： 由题意可知R是线段PF的中点,因为RQ⊥PF,所以直线RQ为线段PF的中垂线，连接QF,则|QP|=|QF|。
又PQ⊥l,即点Q到点F的距离和到直线l的距离相等。设Q(x,y),则|x + 1|$ = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}，$化简得$y^2 = 4x。$故动点Q的轨迹方程E为$y^2 = 4x。$

例 2. 求解下列问题。
(1) 已知圆$M:(x + 1)^{2} + y^{2} = 1$，圆$N:(x - 1)^{2} + y^{2} = 9$，动圆$P$与圆$M$外切并且与圆$N$内切，圆心$P$的轨迹为曲线$C$，求$C$的方程。
(2) 已知两个定圆$O_{1}$和$O_{2}$，它们的半径分别是$1$和$2$，且$|O_{1}O_{2}| = 4$，动圆$M$与圆$O_{1}$内切，且与圆$O_{2}$外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心$M$的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

答案：

(1)由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径$r_1 = 1；$圆N的圆心为N(1,0),半径$r_2 = 3。$
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R。
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM| + |PN|$ = (R + r_1) + (r_2 - R) = r_1 + r_2 = 4 ＞ $|MN| = 2。
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长轴长为4的椭圆(左顶点除外),即a = 2。由c = 1得$b = \sqrt{3}，$所以C的方程为$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1(x \neq -2)。$
(2)如图,以$O_1O_2$的中点O为原点$,O_1O_2$所在直线为x轴建立平面直角坐标系。

由|$O_1O_2$| = 4，
得$O_1(-2,0),O_2(2,0)。$
设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆$O_1$内切,有|$MO_1$| = r - 1；
由动圆M与圆$O_2$外切,有|$MO_2$| = r + 2。
所以|$MO_2$| - |$MO_1$| = 3 ＜ |$O_1O_2$| = 4。
即点M的轨迹是以$O_1,O_2$为焦点，实轴长为3的双曲线的左支。
由$a = \frac{3}{2}，$c = 2，得$b^2 = c^2 - a^2 = \frac{7}{4}。$
故点M的轨迹方程为$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1(x \leq -\frac{3}{2})。$