《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

一批笔记本电脑共有10台, 其中 $A$ 品牌3台, $B$ 品牌7台. 如果从中随机挑选2台, 求这2台电脑中 $A$ 品牌台数的分布列.

答案： 对点训练4:设挑选的$2$台电脑中$A$品牌的台数为$X$，则$X$的可能取值为$0,1,2$.根据古典概型的知识，可得$P(X = 0)=\frac{C_{2}^{0}C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{7}{15}$，$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{7}^{1}}{C_{10}^{2}} = \frac{7}{15}$，$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{7}^{0}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{15}$.
用表格表示$X$的分布列，如下表所示.
$X$ $0$ $1$ $2$
$P$ $\frac{7}{15}$ $\frac{7}{15}$ $\frac{1}{15}$

例5. 一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.
(1) 从中任意摸出1个球, 用0表示摸出白球, 用1表示摸出红球, 即
$X=\left\{\begin{array}{l}0, \text { 摸出白球, } \\ 1, \text { 摸出红球, }\end{array}\right.$
求 $X$ 的分布列;
(2) 从中任意摸出两个球, 用 $X=0$ 表示“两个球全是白球”, 用 $X=1$ 表示“两个球不全是白球”, 求 $X$ 的分布列.
[分析] 两问中 $X$ 只有两个可能取值, 且为0,1, 属于两点分布, 应用概率知识求出 $X=0$ 的概率, 然后根据两点分布的特点求出 $X=1$ 的概率, 最后列表即可.

答案： 例5:
(1)由题意知$P(X = 0)=\frac{3}{7}$，
$P(X = 1)=\frac{4}{7}$.
所以$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$
$P$ $\frac{3}{7}$ $\frac{4}{7}$
(2)由题意知$P(X = 0)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{1}{7}$，
$P(X = 1)=1 - P(X = 0)=\frac{6}{7}$.
所以$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$
$P$ $\frac{1}{7}$ $\frac{6}{7}$