《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. (1) 圆$O_1:x^2 + y^2 - 2x = 0$与圆$O_2:x^2 + y^2 - 2y = 0$的位置关系是 (B)

A.外离
B.相交
C.外切
D.内切

答案： 例1:
(1)B 两圆的标准方程为$(x - 1)^2 + y^2 = 1$和$x^2 + (y - 1)^2 = 1$,对应圆心坐标为$O_1(1,0)$,半径为$r_1 = 1$,和圆心坐标$O_2(0,1)$,半径为$r_1 = 1$,则圆心距离$\vert O_1O_2\vert = \sqrt{2}$,则$0 ＜ \vert O_1O_2\vert ＜ 2$,即两圆相交,故选B.

(2) 圆$O_1:(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$与圆$O_2:(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 16$的位置关系为外切.

答案：
(2)外切 两圆的圆心分别为$O_1(-2,2)$,$O_2(2,5)$,半径分别为$r_1 = 1$,$r_2 = 4$,所以$\vert O_1O_2\vert = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = 5 = r_1 + r_2$,所以两圆外切.

圆$x^2 + y^2 - 2x = 0$与圆$x^2 + y^2 + 4y = 0$的位置关系是 (B)

A.相离
B.相交
C.外切
D.内切

答案： 对点训练1:B 圆$x^2 + y^2 - 2x = 0$的圆心为$C_1(1,0)$,半径$r_1 = 1$,圆$x^2 + y^2 + 4y = 0$的圆心为$C_2(0,-2)$,半径$r_2 = 2$,则两圆的圆心距$d = \vert C_1C_2\vert = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{5}$,
$\therefore r_2 - r_1 ＜ \vert C_1C_2\vert ＜ r_2 + r_1$,
$\therefore$两圆相交.

例2. 已知圆$C_1:x^2 + y^2 + 2x - 6y + 1 = 0$，圆$C_2:x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0$. 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
[分析] 因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去$x^2$项、$y^2$项，即得两圆的两个交点所在的直线方程. 利用勾股定理可求出两圆公共弦长.

答案： 例2:设两圆交点为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,则$A$、$B$两点坐标是方程组$\begin{cases}x^2 + y^2 + 2x - 6y + 1 = 0,&①\\x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0,&②\end{cases}$的解,$① - ②$得$3x - 4y + 6 = 0$.
$\because A$,$B$两点坐标都满足此方程,
$\therefore 3x - 4y + 6 = 0$即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆$C_1$的圆心$(-1,3)$,半径$r = 3$.
又$C_1$到直线$AB$的距离为$d = \frac{\vert -1 × 3 - 4 × 3 + 6\vert}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{9}{5}$,
$\therefore \vert AB\vert = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2} = \frac{24}{5}$
即两圆的公共弦长为$\frac{24}{5}$.

已知圆$C_1:x^2 + y^2 + 2x + 8y - 8 = 0$与圆$C_2:x^2 + y^2 - 4x - 4y - 2 = 0$相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为 (B)

A.$x + 2y + 1 = 0$
B.$x + 2y - 1 = 0$
C.$x - 2y + 1 = 0$
D.$x - 2y - 1 = 0$

答案： 对点训练2:B 由两圆方程$x^2 + y^2 + 2x + 8y - 8 = 0$和$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 2 = 0$相减得$x + 2y - 1 = 0$.

例3. 求圆$O:x^2 + y^2 = 36$与圆$M:x^2 + y^2 - 10y + 16 = 0$的公切线方程.
[分析] 解法一：设出公切线的方程，然后利用待定系数法求出变量的取值；解法二：将求公切线的方程问题转化为求过定点的圆的切线问题.

答案：
例3:圆$O$的圆心为$O(0,0)$,半径$r_1 = 6$,圆$M$的圆心为$M(0,5)$,半径$r_2 = 3$,两圆心的距离$\vert OM\vert = 5$,由$\vert r_1 - r_2\vert ＜ 5 ＜ r_1 + r_2$知两圆相交,$\therefore$存在两条公切线.
解法一:由题意可知公切线的斜率存在,设其方程为$y = kx + b$.
则由圆心到切线的距离等于相应圆的半径得
$\frac{\vert b\vert}{\sqrt{k^2 + 1}} = 6$,
$\frac{\vert -5 + b\vert}{\sqrt{k^2 + 1}} = 3$,
解得$\begin{cases}k = \frac{4}{3},\\b = 10\end{cases}$或$\begin{cases}k = -\frac{4}{3},\\b = 10\end{cases}$.
故两圆的公切线方程为$y = \frac{4}{3}x + 10$或$y = -\frac{4}{3}x + 10$,即$4x - 3y + 30 = 0$或$4x + 3y - 30 = 0$.
解法二:设两圆的公切线切圆$O$于点$B(x_0,y_0)$,则公切线方程为$x_0x + y_0y = 36$.
由点$M$到公切线的距离等于$3$,得
$\frac{\vert x_0 · 0 + 5 · y_0 - 36\vert}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} = 3$.
又$x_0^2 + y_0^2 = 36$ $①$,代入上式得$\vert 5y_0 - 36\vert = 18$ $②$,
联立$①②$解得$\begin{cases}x_0 = \frac{24}{5},\\y_0 = \frac{18}{5}\end{cases}$或$\begin{cases}x_0 = -\frac{24}{5},\\y_0 = \frac{18}{5}\end{cases}$,
所以公切线方程为$\frac{24}{5}x + \frac{18}{5}y - 36 = 0$或$-\frac{24}{5}x + \frac{18}{5}y - 36 = 0$,即$4x + 3y - 30 = 0$或$4x - 3y + 30 = 0$.
解法三:两圆的连心线方程为$x = 0$(即$y$轴),设两圆的连心线与其公切线交于点$N$,如图所示
其中一条公切线与两圆相切于点$P$,$Q$,连接$OP$,$MQ$,则$OP\perp PN$,$MQ\perp PN$.由$\triangle PNO \sim \triangle QNM$得$\frac{\vert NM\vert}{\vert NO\vert} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$,即$M$为$NO$的中点,所以点$N$的坐标为$(0,10)$.于是两圆的公切线即为过点$N$的圆$O$的两条切线,易知切线斜率存在,设切线斜率为$k$,则切线方程为$y = kx + 10$,即$kx - y + 10 = 0$.由圆心$O$到切线的距离等于圆$O$的半径$r_1$得$\frac{\vert 10\vert}{\sqrt{k^2 + 1}} = 6$,解得$k = \pm \frac{4}{3}$.故两条公切线方程为$y = \pm \frac{4}{3}x + 10$,即$4x + 3y - 30 = 0$或$4x - 3y + 30 = 0$.