《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

23. (11 分)如图 17，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10\ cm$，$BC = 6\ cm$。若动点 $P$ 从点 $C$ 开始，按 $C\to A\to B\to C$ 的路径运动，且速度为每秒 $2\ cm$，设出发的时间为 $t\ s$。回答下列问题：
(1)当 $t =$$\frac{3}{2}$$s$ 时，$BP$ 平分 $\angle ABC$。
(2)在运动过程中是否能出现以 $BC$ 为腰的等腰 $\triangle BCP$？若能，求出此时点 $P$ 的运动时间；若不能，请说明理由。

答案：
23.解:
(1)$\frac{3}{2}$ 【解析】如图1，
　　　　　　　　　　　　　
$\because \angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$BC = 6cm$，
$\therefore AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = \sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8(cm)$.
作$PD \perp AB$于点$D$，
$\therefore \angle ADP = \angle BDP = 90^{\circ} = \angle C$.
$\because BP$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle PBD = \angle PBC$，
在$\triangle PBD$和$\triangle PBC$中，
$\begin{cases} \angle PBD = \angle PBC, \\ \angle BDP = \angle C, \\ BP = BP, \end{cases}$
$\therefore \triangle PBD \cong \triangle PBC(AAS)$，
$\therefore BD = BC = 6cm$，
$\therefore AD = AB - BD = 4cm$.
$\because PC = PD = 2tcm$，则$AP = (8 - 2t)cm$.
在$Rt\triangle ADP$中，由勾股定理得
$(2t)^{2}+4^{2}=(8 - 2t)^{2}$，
解得$t = \frac{3}{2}$，
即当$t$为$\frac{3}{2}s$时，$BP$平分$\angle ABC$.
(2)①若$P$在边$AC$上时，$CP = 2tcm$，如图2，
　　　　　　　　　　　　　
$\because \triangle BCP$为等腰三角形，
$\therefore CP = BC$，
$\therefore 2t = 6$，
$\therefore t = 3$，
$\therefore t = 3s$时，$\triangle BCP$为等腰三角形.
②若$P$在$AB$边上时，如图3，
　　　　　　　　　　　　　
$\because AC + AP = 2t$，
$\therefore BP = 18 - 2t$，
若$BP = BC$，则$18 - 2t = 6$，
解得$t = 6$，
$\therefore t = 6s$时，$\triangle BCP$为等腰三角形.
③若$CP = BC$，过点$C$作斜边$AB$的高$CD$，如图4，
　　　　　　　　　　　　　
则$BD = PD$.
$\because \frac{1}{2}AB· CD = \frac{1}{2}AC· BC$，
$\therefore CD = \frac{24}{5}cm$，
$\therefore BD = \sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\frac{18}{5}(cm)$，
$\therefore BP = 2BD = \frac{36}{5}cm$，$\therefore 18 - 2t = \frac{36}{5}$，解得$t = \frac{27}{5}$，$\therefore t = \frac{27}{5}s$，$\triangle BCP$为等腰三角形.
综上所述，$t$为$3s$或$\frac{27}{5}s$或$6s$时，$\triangle BCP$为等腰三角形.