《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

21. （10 分）如图 14，已知 $C$ 是 $AB$ 上一点，点 $D$、$E$ 分别在 $AB$ 两侧，$AD // BE$，且 $AD = BC$，$BE = AC$。连接 $DE$，交 $AB$ 于点 $F$，猜想 $\triangle BEF$ 的形状，并给予证明。

答案：
21.解:△BEF为等腰三角形.理由如下:
如图,连接CE,

在△ADC和△BCE中，$\begin{cases}AD=BC,\\\angle A=\angle B,\\AC=BE,\end{cases}$
∴ △ADC≌△BCE(SAS),
∴ ∠DCF=∠BEC,CD=CE.
∵ CD=CE,
∴ ∠CDF=∠CED.
又
∵ ∠BFE=∠CDF+∠DCF,∠BEF=∠BEC+∠CED,
∴ ∠BFE=∠BEF,
∴ BF=BE,即△BEF为等腰三角形.

22. （10 分）如图 15，已知 $DE \perp AB$，垂足为点 $E$，$DF \perp AC$，垂足为点 $F$，$BD = CD$，$BE = CF$。求证：
（1）$AD$ 平分 $\angle BAC$；
（2）$AB + AC = 2AE$。

答案： 22.证明:
(1)
∵ DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴ ∠E=∠DFC=90°,
∴ △BDE与△CDF均为直角三角形.
∵ $\begin{cases}BD=CD,\\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴ DE=DF,即AD平分∠BAC.
(2)
∵ BE=CF,AD平分∠BAC,
∴ ∠EAD=∠CAD.
∵ ∠E=∠AFD=90°,
∴ ∠ADE=∠ADF.
在△AED和△AFD中，$\begin{cases}\angle EAD=\angle CAD,\\AD=AD,\\\angle ADE=\angle ADF,\end{cases}$
∴ △AED≌△AFD(ASA),
∴ AE=AF,
∴ AB+AC=AE−BE+AF+CF=AE+AE=2AE.