《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

16. （12分）校园里现有一块四边形的空地$ABCD$，如图13所示. 为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地. 经学校课外实践活动小组测量得知，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AD = 3$m，$AB = 4$m，$BC = 13$m，$CD = 12$m. 根据你所学过的知识解决下列问题：
（1）求证：$\angle BDC = 90^{\circ}$；
（2）求四边形$ABCD$的面积.

答案： 16.
(1)证明:$\because$ $\angle BAD = 90^{\circ},AD = 3$m,$AB = 4$m,
　$\therefore$ $BD = \sqrt{AD^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5(m)$.
　$\because$ $BC = 13$m,$CD = 12$m,
　$\therefore$ $BD^{2} + CD^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169,BC^{2} = 13^{2} = 169$,
　$\therefore$ $BD^{2} + CD^{2} = BC^{2}$,
　$\therefore$ $\triangle BCD$是直角三角形，
　$\therefore$ $\angle BDC = 90^{\circ}$.
(2)解:四边形ABCD的面积$= \triangle ABD$的面积$+ \triangle BCD$ 的面积
　$= \frac{1}{2}AD · AB + \frac{1}{2}BD · CD$
　$= \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12$
　$= 6 + 30$
　$= 36(m^{2})$.

17. （12分）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地$ABCD$（如图14所示）的周长，其中边$CD$上有水池及建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度. 小东经测量知，$AB = AD = 5$m，$\angle A = 60^{\circ}$，$BC = 12$m，$\angle ABC = 150^{\circ}$.
小明说根据小东所得的数据可以求出$CD$的长度，你同意小明的说法吗？若同意，请求出$CD$的长度；若不同意，请说明理由.

答案：
17.解:同意小明的说法.
　理由如下:如图,连接BD,
　　　
　$\because$ $AB = AD = 5$m,$\angle A = 60^{\circ}$,
　$\therefore$ $\triangle ABD$是等边三角形，
　$\therefore$ $BD = 5$m,$\angle ABD = 60^{\circ}$.
　$\because$ $\angle ABC = 150^{\circ}$,
　$\therefore$ $\angle DBC = 90^{\circ}$.
　$\because$ $BC = 12$m,$BD = 5$m,
　$\therefore$ $DC = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13(m)$.
　故CD的长度为13m.