《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

4. 小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是 $x^3y - 2xy^2$，商式必须是 $2xy$，则小亮报一个除式是$\frac{1}{2}x^{2}-y$.

答案： 4.$\frac{1}{2}x^{2}-y$

5. 化简求值：$[x^2 + y^2 - (x - y)^2 + 2y(x - y)] ÷ 4y$，其中 $y = 2x - 10$.

答案： 5.解：$[x^{2}+y^{2}-(x-y)^{2}+2y(x-y)]÷4y$
$=[x^{2}+y^{2}-(x^{2}-2xy+y^{2})+2xy-2y^{2}]÷4y$
$=(x^{2}+y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}+2xy-2y^{2})÷4y$
$=(4xy-2y^{2})÷4y$
$=x-\frac{1}{2}y$.
$\because y=2x-10,\therefore2x-y=10$,
$\therefore x-\frac{1}{2}y=5,\therefore$原式$=5$.

1. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是 (C)

A.$(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9$
B.$a^2 - 4a + 4 = a(a - 4) + 4$
C.$5ax^2 - 5ay^2 = 5a(x + y)(x - y)$
D.$a^2 - 2a - 8 = (a - 2)(a + 4)$

答案： 1.C

2. (2024·自贡)分解因式：$x^2 - 3x =$$x(x-3)$.

答案： 2.$x(x-3)$

3. 分解因式：$x^2 - 4x + 4 =$$(x-2)^{2}$.

答案： 3.$(x-2)^{2}$

4. 已知 $a^2 - b^2 = 12$，且 $a - b = -2$，则 $a + b =$$-6$.

答案： 4.$-6$

5. (2024·淄博)若多项式 $4x^2 - mxy + 9y^2$ 能用完全平方公式因式分解，则 $m$ 的值是$\pm12$.

答案： 5.$\pm12$

6. 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题的. 我们规定：一个整数能表示成 $a^2 + b^2$ ($a$、$b$ 是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”. 例如，因为 $10 = 3^2 + 1^2$，所以 $10$ 是“完美数”.
【解决问题】
(1) 下列各数中，“完美数”有①③(填序号).
①29
②48
③13
④28
(2) 若 $a^2 - 6a + 18$ 可配方成 $(a - m)^2 + n^2$ ($m$、$n$ 为常数)，则 $mn$ 的值为$\pm9$.
(3) 已知 $S = a^2 + 4ab + 5b^2 - 12b + k$ ($a$、$b$ 是整数，$k$ 是常数)，要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的一个 $k$ 值，并说明理由.
【拓展应用】
(4) 已知实数 $a$、$b$ 满足 $-a^2 + 5a + b - 3 = 0$，求 $a + b$ 的最小值.

答案： 6.解：
(1)①③
(2)$\pm9$
(3)(答案不唯一,合理即可)
当$k=36$时,$S$是完全平方数.理由如下：
$S=a^{2}+4ab+5b^{2}-12b+36=a^{2}+4ab+4b^{2}+b^{2}-12b+36=(a+2b)^{2}+(b-6)^{2}$.
$\because a、b$是整数,
$\therefore a+2b$和$b-6$也是整数,
$\therefore$当$k=36$时,$S$是完全平方数.
(4)$\because-a^{2}+5a+b-3=0$,
$\therefore a+b=a^{2}-4a+3$,
$\therefore a+b=a^{2}-4a+4-1$,
$\therefore a+b=(a-2)^{2}-1$.
$\because(a-2)^{2}\geqslant0$,
$\therefore(a-2)^{2}-1\geqslant-1$,
$\therefore a+b$的最小值为$-1$.