《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

21. (9 分)【综合探究】实践：把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为$a$、$b(a ＞ b)$的小长方形(图 3①)，再展开还原(图 3②)沿着折痕(虚线部分)剪开，拼成一个大正方形(图 3③)。
(1)猜想：①图 3③中间小正方形的边长为a-b；(用含$a$、$b$的式子表示)
②根据材料，直接写出式子$ab$、$(a - b)^{2}$、$(a + b)^{2}$之间的等量关系：(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab。
(2)应用：若$x + y = 7$，$xy = 2$，求$(x - y)^{2}$的值。
(3)拓展：若$(2m - 5)^{2}+(3 - 2m)^{2}=8$，求$(2m - 5)(3 - 2m)$的值。

答案： 三、21.解：
(1)①a-b【解析】由题意得，题图3③中间
小正方形的边长为a-b.
$②(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab【$解析】
∵题图3③中大
正方形的面积可表示为$(a+b)^{2}$或$(a-b)^{2}+4ab,$
∴$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab.$
(2)由
(1)所得$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$可得,
$(x+y)^{2}=4xy+(x-y)^{2}$
∴$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy$
$=7^{2}-4×2$
=49-8
=41,
∴$(x-y)^{2}$的值为41.
(3)设a=2m-5,b=3-2m,
∴a+b=(2m-5)+(3-2m)
=2m-5+3-2m
=-2.
∵$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},$
∴$ab=\frac{1}{2}[(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]$
$=\frac{1}{2}[(-2)^{2}-8]$
$=\frac{1}{2}(4-8)$
$=\frac{1}{2}×(-4)$
=-2,
即(2m-5)(3-2m)的值是-2.

22. (10 分)对于任意有理数$a$、$b$、$c$、$d$，我们规定符号$(a,b)\otimes(c,d)=ad - bc$。
例如：$(1,3)\otimes(2,4)=1×4 - 2×3=-2$。
(1)$(-2,3)\otimes(4,5)$的值为-22；
(2)求$(3a + 1,a - 2)\otimes(a + 2,a - 3)$的值，其中$a^{2}-4a + 1 = 0$。

答案： 三、22.解：
(1)-22
(2)(3a+1,a-2)⊗(a+2,a-3)
=(3a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)
$=3a^{2}-9a+a-3-(a^{2}-4)$
$=3a^{2}-9a+a-3-a^{2}+4$
$=2a^{2}-8a+1.$
∵$a^{2}-4a+1=0,$
∴$a^{2}=4a-1,$
∴(3a+1,a-2)⊗(a+2,a-3)=2(4a-1)-8a+1=