《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

19. (12分)在$\triangle ABC$中，$BC = a$，$CA = b$，$AB = c$. 若$\angle C$为直角，则$a^{2} + b^{2} = c^{2}$. 若$\angle C$为锐角或钝角，则$a^{2} + b^{2}$与$c^{2}$之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧.
(1)阅读并填空：如图16①，若$\angle C$为锐角，则$a^{2} + b^{2} ＞ c^{2}$.
证明：如图16②，过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，则$BD = BC - CD = a - CD$.
在$Rt\triangle ABD$中，$AD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$，
在$Rt\triangle ACD$中，$AD^{2} =$$AC^{2} - CD^{2}$，
∴$AB^{2} - BD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$.
即$c^{2} - (a - CD)^{2} = b^{2} - CD^{2}$，
∴$a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2a · CD$.
∵$a ＞ 0$，$CD ＞ 0$，∴$a^{2} + b^{2} - c^{2} ＞ 0$，∴$a^{2} + b^{2} ＞ c^{2}$.
(2)解答问题：如图16③，若$\angle C$为钝角，试推导$a^{2} + b^{2}$与$c^{2}$的大小关系.

答案：
19.解:
(1)$AC^{2} - CD^{2}$ $AB^{2} - BD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$
(2)作$AD \perp BC$于点D,如图所示，
　　　　　　　　
　则$BD = BC + CD = a + CD$,
　在$\triangle ABD$中,$AD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$,
　在$\triangle ACD$中,$AD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$,
　$\therefore$ $AB^{2} - BD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$,
　$\therefore$ $c^{2} - (a + CD)^{2} = b^{2} - CD^{2}$,
　整理得$a^{2} + b^{2} = c^{2} - 2a · CD$.
　$\because$ $a ＞ 0,CD ＞ 0$,
　$\therefore$ $a^{2} + b^{2} ＜ c^{2}$.