《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

9. 如图 4，一个牧童在小河南 4 km 的 $A$ 处牧马，此时他正位于小屋 $B$ 的西 8 km、北 7 km 处，他想把马牵到小河边去饮水，然后回小屋. 牧童要完成这件事情所走的最短路程是多少？

答案：
9.解:如图,作出A点关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P,
　　　　　　
则A'B就是最短路线.
在Rt△A'DB中,由勾股定理求得
A'B=$\sqrt{DA'^{2}+DB^{2}}=\sqrt{(7+4+4)^{2}+8^{2}}=17(km)$，
故他要完成这件事情所走的最短路程是17km.

10. 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载. 如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”. 如：3、4、5，5、12、13，8、15、17，等等，都是勾股数.
（1）如果 $a$、$b$、$c$ 是一组勾股数，即满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则 $ka$、$kb$、$kc$（$k$ 为正整数）也是一组勾股数. 如：5、12、13 是一组勾股数，则10、24、26(答案不唯一)也是一组勾股数.
（2）世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当 $a = \frac{1}{2}(m^{2} - n^{2})$，$b = mn$，$c = \frac{1}{2}(m^{2} + n^{2})$（$m$、$n$ 为正整数，$m ＞ n$）时，$a$、$b$、$c$ 构成一组勾股数. 请证明满足以上公式的 $a$、$b$、$c$ 是一组勾股数.

答案： 10.
(1)10、24、26(答案不唯一)
(2)证明:依题意得$a^{2}+b^{2}=[\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})]^{2}+(mn)^{2}$
$=\frac{1}{4}m^{4}-\frac{1}{2}m^{2}n^{2}+\frac{1}{4}n^{4}+m^{2}n^{2}$
$=\frac{1}{4}m^{4}+\frac{1}{2}m^{2}n^{2}+\frac{1}{4}n^{4}$
$=[\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})]^{2}$
$=c^{2}$，
满足以上公式的$a$、$b$、$c$是一组勾股数.