《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

23. (11 分)如图 6，将面积分别为 2 和 3 的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点 O 重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点 A 和点 B。
(1)点 A 表示的数为$-\sqrt{2}$，点 B 表示的数为$\sqrt{3}$，线段 AB 的长度为$\sqrt{3} + \sqrt{2}$。
(2)一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 2 个单位长度到达点 C，设点 C 表示的数为 c。
①实数 c 的值为$-\sqrt{2} + 2$；
②求$|c + 1| + |c - 1|$的值。
(3)在数轴上，还有 D、E 两点分别表示 m、n，且有$|2m + n|$与$\sqrt{n^2 - 16}$互为相反数，求$2m - 3n$的平方根。

答案： 23.解：
(1)$-\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 【解析】
∵ $AP^{2} = 2$，
∴ $AP = \sqrt{2}$.
∵ 点$A$在原点左侧，
∴ 点$A$表示的数为$-\sqrt{2}$.
∵ $BP^{2} = 3$,
∴ $BP = \sqrt{3}$.
∵ 点$B$在原点右侧，
∴ 点$B$表示的数为$\sqrt{3}$，
∴ $AB = \sqrt{3} - (-\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.
(2)①$-\sqrt{2} + 2$
②
∵ $c + 1 = -\sqrt{2} + 2 + 1 ＞ 0$,$c - 1 = -\sqrt{2} + 2 - 1 = -\sqrt{2} + 1 ＜ 0$，
∴ $|c + 1| + |c - 1| = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = 2$.
(3)
∵ $|2m + n|$与$\sqrt{n^{2} - 16}$互为相反数，
∴ $|2m + n| + \sqrt{n^{2} - 16} = 0$，
∴ $2m + n = 0$,$\sqrt{n^{2} - 16} = 0$，
∴ $n = \pm4$.
当$n = 4$时,$2m + 4 = 0$,$m = -2$,$2m - 3n = 2×(-2) - 3×4 = -16 ＜ 0$,不合题意；
当$n = -4$时,$2m - 4 = 0$,$m = 2$,$2m - 3n = 2×2 - 3×(-4) = 16 ＞ 0$.
∵ $16$的平方根是$\pm4$，
∴ $2m - 3n$的平方根是$\pm4$.