《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

23. (11 分)项目化学习
【项目主题】探究:“如果两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等,那么这两个三角形全等吗?”
【项目内容】学习了探索三角形全等的条件后,同学们知道了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”). 数学兴趣小组在此学习的过程中对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等时,两个三角形是否一定全等”展开了进一步思考和探究.
【项目任务】
任务一:我们不妨将问题用符号语言表示为“在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中,$AC = DF$,$BC = EF$,$\angle B = \angle E$”,然后,对 $\angle B$ 进行分类,可分为 $\angle B$ 是直角_锐角、 _ 、钝角_ 三种情况进行探究.
任务二:当 $\angle B$ 是直角时,如图 21,在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中,$AC = DF$,$BC = EF$,$\angle B = \angle E = 90^{\circ}$,根据HL_ ,可以知道 $Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DEF$.

任务三:当 $\angle B$ 是锐角时,如图 22 是小爱同学的画图过程,在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中,$AC = DF$,$BC = EF$,$\angle B = \angle E$,且 $\angle B$、$\angle E$ 都是锐角,你认为 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$不一定_ (填“一定”或“不一定”)全等.
当 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 时,AC 的取值范围是AC≥4或AC=2_ .

任务四:如图 23,在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中,$AC = DF$,$BC = EF$,$\angle B = \angle E$,且 $\angle B$、$\angle E$ 都是钝角,求证:$\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

答案：
23. 解:任务一:直角　　锐角　　钝角
　　任务二:HL
　　任务三:不一定　AC≥4或AC=2
　　任务四:证明:过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H,如图,∠AGC=∠DHF=90°.
　　　　　　　　
∵ ∠ABC=∠DEF,
∴ ∠CBG=∠FEH;
∵ ∠AGC=∠DHF=90°,BC=EF,
∴ △BGC≌△EHF,
∴ CG=FH;
∵ AC=DF,∠AGC=∠DHF=90°,
∴ Rt△AGC≌Rt△DHF,
∴ ∠A=∠D.
　　又
∵ ∠ABC=∠DEF,AC=DF,
∴ △ABC≌△DEF (AAS).