《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

19. （12分）已知，在△ABC中，AB = AC，D、A、E三点都在直线m上，∠BDA = ∠AEC = ∠BAC.
（1）如图15①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为BD=AE，BD、CE与DE的数量关系为BD=AE.
（2）如图15②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图15③，若只保持∠BDA = ∠AEC，BD = EF = 7 cm，DE = 10 cm，点A在线段DE上以2 cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t s. 是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.

答案： 19.解：
(1)BD=AEBD+CE=DE
【解析】
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC,
∠BAD+∠CAE+∠BAC=∠BAD+∠ABD+∠BDA=
180°,
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD,
∴∠CAE=∠ABD.
∵∠BDA=∠AEC,AB=CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE+AD=DE,
∴BD+CE=DE.
(2)成立,BD=AE,BD+CE=DE.理由如下：
同
(1)得△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,CE=AD.
∵AE+AD=DE,
∴BD+CE=DE.
(3)存在.理由如下：
当△DAB≌△ECA时,AD=CE,BD=AE=7cm.
∵AD+AE=DE=10cm,
∴CE=AD=DE-AE=3cm,
∴t=$\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$,
∴x=3÷$\frac{3}{2}$=2.
当△DAB≌△EAC时,
∴AD=AE=$\frac{1}{2}$DE=5cm,DB=EC=7cm,
∴t=$\frac{AD}{2}=\frac{5}{2}$,x=7÷$\frac{5}{2}=\frac{14}{5}$.
综上所述,存在x,使得△ABD与△EAC全等,t=$\frac{3}{2}$,
x=2或t=$\frac{5}{2}$,x=$\frac{14}{5}$.