《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

19. （9 分）阅读下面的解答过程：
求$y^{2}+4y + 8$的最小值。
解：$y^{2}+4y + 8 = y^{2}+4y + 4 + 4=(y + 2)^{2}+4$。
$\because(y + 2)^{2}\geq0$，即$(y + 2)^{2}$的最小值为$0$，
$\therefore y^{2}+4y + 8$的最小值为$4$。
依照上面的解答过程，求$m^{2}+m + 4$的最小值和$4 - x^{2}+2x$的最大值。

答案： 三、19.解：$m^{2}+m+4=(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4},$
∵$(m+\frac{1}{2})^{2}≥0,$
∴$(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4},$
则$m^{2}+m+4$的最小值是$\frac{15}{4}$
$4-x^{2}+2x=-(x-1)^{2}+5,$
∵$-(x-1)^{2}≤0,$
∴$-(x-1)^{2}+5≤5,$
则$4-x^{2}+2x$的最大值是5.

20. （9 分）解答问题：
（1）观察下列各式：$3^{2}-1^{2}=8×1$，$5^{2}-3^{2}=8×2$，$7^{2}-5^{2}=8×3$，$·s$，探索以上式子的规律，试写出第$n$个等式；
（2）运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性；
（3）请用文字表述这个规律，并用这个规律计算：$5019^{2}-5017^{2}$。

答案： 三、20.解：
(1)第n个等式为$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n$
(n为正整数).
(2)验证：$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=[(2n+1)+(2n-1)]·$
[(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n.
(3)两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
由$5019^{2}-5017^{2}$可知2n+1=5019,
解得n=2509,
∴$5019^{2}-5017^{2}=8×2509=20072.$