《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

23. (11 分)如图 10，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=\angle ACB$，$E$为$BC$边上一点，以$E$为顶点作$\angle AEF$，$\angle AEF$的一边交$AC$于点$F$，使$\angle AEF=\angle B$。
(1)如果$\angle ABC = 40^{\circ}$，则$\angle BAC$的度数为$100°$；
(2)判断$\angle BAE$与$\angle CEF$的大小关系，并说明理由；
(3)当$\triangle AEF$为直角三角形时，求$\angle AEF$与$\angle BAE$的数量关系。

答案：
23.解：
(1)$100°$
(2)$∠BAE = ∠CEF$。理由如下：
∵$∠B + ∠BAE = ∠AEC$，$∠AEF = ∠B$，
∴$∠BAE = ∠CEF$。
(3)如下图所示，当$∠AFE = 90°$时，
　　　　　　
∵$∠B + ∠BAE = ∠AEF + ∠CEF$，
$∠B = ∠AEF = ∠C$，
∴$∠BAE = ∠CEF$。
∵$∠C + ∠CEF = 90°$，
∴$∠BAE + ∠AEF = 90°$，
即$∠AEF$与$∠BAE$的数量关系是互余。
如下图所示，当$∠EAF = 90°$时，
　　　　　
∵$∠B + ∠BAE = ∠AEF + ∠1$，$∠B = ∠AEF = ∠C$，
∴$∠BAE = ∠1$。
∵$∠C + ∠1 + ∠AEF = 90°$，
∴$2∠AEF + ∠1 = 90°$，
即$2∠AEF$与$∠BAE$的数量关系是互余。