《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

21. (10 分)(2024·青岛)已知:如图 19,四边形 ABCD,E 为 DC 边上一点.
作图:四边形内一点 P,使 $EP // BC$,且点 P 到 AB、AD 的距离相等.

答案：
21. 作∠DAB的平分线AM,以E为顶点、ED为一边作∠DEN=∠C,EN交AM于点P,如图,点P即为所求.
　　　　　　　　

22. (10 分)如图 20①,已知 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,AE 是过点 A 的一条直线,且 B、C 在 AE 的异侧,$BD \perp AE$ 于点 D,$CE \perp AE$ 于点 E.
(1) 求证:$BD = DE + CE$.
(2) 若直线 AE 绕点 A 旋转到图 20②位置时($BD ＜ CE$),其他条件不变,BD 与 DE、CE 的关系如何? 请予以证明.
(3) 若直线 AE 绕点 A 旋转到图 20③位置时($BD ＞ CE$),其他条件不变,BD 与 DE、CE 的关系怎样? 请直接写出结果,不需要证明.

答案： 22.
(1) 证明:在△ABD和△CAE中，
∵ ∠CAD+∠BAD=90°,∠BAD+∠ABD=90°,
∴ ∠CAD=∠ABD.
　　又
∵ ∠ADB=∠AEC=90°,AB=AC,
∴ △ABD≌△CAE(AAS),
∴ BD=AE,AD=CE.
　　又
∵ AE=AD+DE,
∴ AE=DE+CE,即BD=DE+CE.
(2)BD=DE−CE.
　　证明:
∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠BAD+∠CAE=90°.
　　又
∵ BD⊥DE,
∴ ∠BAD+∠ABD=90°,
∴ ∠ABD=∠CAE.
　　又
∵ AB=AC,∠ADB=∠CEA=90°,
∴ △ADB≌△CEA,
∴ BD=AE,AD=CE.
∵ DE=AD+AE,
∴ DE=CE+BD,即BD=DE−CE.
(3)BD=DE−CE.