《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

18. (9 分)如图 16,AD 是一段斜坡,AB 是水平线. 现为了测斜坡上一点 D 的竖直高度 DB 的长度,欢欢在 D 处立上一竹竿 CD,并保证 $CD \perp AD$,然后在竿顶 C 处垂下一根绳 CE,与斜坡的交点为点 E,他调整好绳子 CE 的长度,使得 $CE = AD$,此时他测得 $DE = 2$ m,求 DB 的长度.

答案：
18. 解:如图,延长CE交AB于点F,
　　则∠A+∠1=90°,∠C+∠2=90°.
∵ ∠1=∠2(对顶角相等)
∴ ∠A=∠C.
　　在△ABD和△CDE中，
　　$\begin{cases} ∠A=∠C,\\ ∠ABD=∠CDE=90°,\\ CE=AD,\end{cases}$
∴ △ABD≌△CDE(AAS),
∴ DB=DE.
∵ DE=2m,
∴ DB的长度是2m.
　　　　　　　　　　　　　　　　

19. (9 分)(2024·南充)如图 17,在 $\triangle ABC$ 中,点 D 为 BC 边的中点,过点 B 作 $BE // AC$ 交 AD 的延长线于点 E.
(1) 求证:$\triangle BDE \cong \triangle CDA$;
(2) 若 $AD \perp BC$,求证:$BA = BE$.

答案： 19. 证明:
(1)
∵ D为BC的中点，
∴ BD=CD.
∵ BE//AC,
∴ ∠E=∠DAC,∠DBE=∠C;
　　在△BDE和△CDA中，
　　$\begin{cases} ∠E=∠DAC,\\ ∠DBE=∠C,\\ BD=CD,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDA(AAS).
(2)
∵ △BDE≌△CDA,
∴ ED=AD.
∵ AD⊥BC,
∴ BD垂直平分AE,
∴ BA=BE.

20. (9 分)如图 18,若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC.
(1) 若 $\triangle APQ$ 的周长为 12,求 BC 的长;
(2) $\angle BAC = 105^{\circ}$,求 $\angle PAQ$ 的度数.

答案： 20. 解:
(1)
∵ MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴ AP=BP,AQ=CQ,
∴ △APQ的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC.
∵ △APQ的周长为12,
∴ BC=12.
(2)
∵ AP=BP,AQ=CQ,
∴ ∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.
∵ ∠BAC=105°,
∴ ∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−105°=75°,
∴ ∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=105°−75°=30°.