《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

23. (11分)小亮在学习完勾股定理的知识后，和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索. 请你根据他们的思路完成下列各项内容：
【问题解决】如图21①，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，分别以其三边为边向外作正方形，若$S_1 = 25$，$S_2 = 7$，则$AC^2 =$.
【变式探究】
(1)如图21②，若以$\triangle ABC$的三边为斜边向外作等腰直角三角形，$\angle D = \angle E = \angle F = 90^{\circ}$，$AD = DC$，$CE = BE$，$AF = BF$，则$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的关系为；
(2)如图21③，若分别以$\triangle ABC$的三边为直径向外作半圆，则$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的关系为；
(3)如图21④，小亮发现AB为直径的半圆刚好过点C，此时阴影部分的面积之和等于直角三角形ABC的面积，你认为正确吗？请说明理由.
【拓展应用】如图21⑤，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，分别以它的三边向外作平行四边形，$QC // GS // TH$，直线QC交AB于点P，交GH于点N，且$QC = PN$. 若平行四边形ABHG和平行四边形SQCA的面积分别为8和6，则平行四边形QTBC的面积为.

答案： 【问题解决】18
【变式探究】
(1)S₁=S₂+S₃
(2)S₁=S₂+S₃
(3)正确。理由：阴影面积=（以AC为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积）-（以AB为直径的半圆面积-△ABC面积）=πAC²/8+πBC²/8-(πAB²/8 - S△ABC)=π(AC²+BC²-AB²)/8 + S△ABC=S△ABC
【拓展应用】2