《2025年节节高大象出版社八年级数学上册华师大版》

23. （11 分）已知 $\triangle ABC$ 中，$D$、$F$ 分别为线段 $AC$、$AB$ 上两点，连接 $BD$、$CF$ 交于点 $E$。
（1）若 $BD \perp AC$，$CF \perp AB$，如图 16①所示，试说明 $\angle A + \angle BEC = 180^{\circ}$；
（2）若 $BD$ 平分 $\angle ABC$，$CF$ 平分 $\angle ACB$，如图 16②所示，试说明此时 $\angle A$ 与 $\angle BEC$ 的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若 $\angle A = 60^{\circ}$，试证明：$EF = ED$。

答案：
23.
(1)解:
∵ BD⊥AC,CF⊥AB,
∴ ∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°,
∴ ∠DEC=∠BAC,∠DEC+∠BEC=180°,
∴ ∠A+∠BEC=180°.
(2)解:
∵ BD平分∠ABC,CF平分∠ACB，
∴ ∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
(3)证明:如图,作∠BEC的平分线EM交BC于点M,

∵ ∠A=60°,
∴ ∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=120°,
∴ ∠FEB=∠DEC=60°.
∵ EM平分∠BEC,
∴ ∠BEM=60°.
在△FBE与△EBM中，$\begin{cases}\angle FBE=\angle EBM,\\BE=BE,\\\angle FEB=\angle MEB,\end{cases}$
∴ △FBE≌△EBM(ASA),
∴ EF=EM,同理ED=EM,
∴ EF=ED.