《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

3. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $A$ 作 $AE \perp BC$ 于点 $E$，连接 $OE$，若 $OB = 4$，$S_{菱形ABCD} = 16$，则 $OE$ 的长为(C).

A.$2\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2$
D.$\sqrt{5}$

答案： 3.C

4. 如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，过点 $D$ 分别作 $AC$，$AB$ 的平行线，交 $AB$ 于点 $E$，交 $AC$ 于点 $F$.
(1) 求证：四边形 $AEDF$ 是菱形；
(2) 若 $AF = 13$，$AD = 24$，求四边形 $AEDF$ 的面积.

答案：
4.
(1)证明：$\because AB// DF,AC// DE,\therefore$四边形$AEDF$是平行四边形.$\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore \angle BAD=\angle DAC.$
又$AC// DE,\therefore \angle ADE=\angle DAC.$
$\therefore \angle ADE=\angle BAD,\therefore EA=ED.$
$\therefore$四边形$AEDF$是菱形.
(2)解：连接$EF$交$AD$于点$O.$

$\because$四边形$AEDF$是菱形，$\therefore EF=2FO.$
$\therefore AO=\frac{1}{2}AD=12.$
$\because AD\perp EF$，在$Rt\triangle AOF$中，由勾股定理得$OF=\sqrt{AF^{2}-AO^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$，
$\therefore OE=OF=5.$
$\therefore$四边形$AEDF$的面积$=\frac{1}{2}AD× OF+\frac{1}{2}AD× OE=\frac{1}{2}×24×5+\frac{1}{2}×24×5=120.$

1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\angle DAC = 30°$，$BD = 8$，则下列结论：① $\angle DAB = 60°$；② $OD = 4$；③ $AD = 8$；④ $OC = 4\sqrt{3}$；⑤ $S_{菱形ABCD} = 32\sqrt{3}$. 其中正确的有(D).

A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个

答案： 1.D

2. 如图，$CD$ 与 $BE$ 互相垂直且平分，$AD \perp DB$，$\angle BDE = 70°$，则 $\angle CAD =$$70^{\circ}$.

答案： 2.$70^{\circ}$

3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC = BD = 6$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，则 $EG^2 + FH^2 =$36.

答案： 3.36

4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的垂直平分线分别与 $AD$，$AC$，$BC$ 相交于点 $E$，$O$，$F$，连接 $AF$，$CE$.

(1) 求证：四边形 $AFCE$ 是菱形；
(2) 若 $\angle BAC = 90°$，$\angle B = 60°$，$AB = 2$，求 $DE$ 的长.

答案： 4.
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore \angle EAO=\angle FCO.$
$\because EF$平分$AC,\therefore OA=OC.$
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases} \angle EAO=\angle FCO\\OA=OC\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$
$\therefore \triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，
$\therefore OE=OF,\therefore$四边形$AFCE$为平行四边形.
又$EF$垂直$AC,\therefore$平行四边形$AFCE$是菱形.
(2)解：$\because \angle BAC=90^{\circ},\angle B=60^{\circ},AB=2$，
$\therefore \angle ACB=30^{\circ}$，
$\therefore BC=2AB=4.$
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD=BC=4.$
由
(1)可知，四边形$AFCE$是菱形，$\therefore AE=AF=CF,\therefore \angle FAC=\angle ACB=30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAF=\angle BAC-\angle FAC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle BAF=60^{\circ},\therefore \triangle ABF$是等边三角形，
$\therefore AF=AB=2,\therefore AE=AF=2$，
$\therefore DE=AD-AE=4-2=2.$