《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

5. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$M$ 是边 $AB$ 上任意一点，$ME \perp AC$ 于点 $E$，$MF \perp BD$ 于点 $F$. $AB = 4$，$BC = 3$，求 $ME + MF$ 的大小.

答案：
5.解：如图，连接OM，过点B作BN⊥AC于点N。

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=$\frac{1}{2}$AC，BO=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴AO=BO。
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5。
∵$S_{△AOM}$+$S_{△BOM}$=$S_{△AOB}$=$\frac{1}{2}$$S_{△ABC}$，
即$\frac{1}{2}$OA·ME+$\frac{1}{2}$OB·MF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC·BN，
∴ME+MF=BN=$\frac{AB·BC}{AC}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$。

1.矩形的判定定理
(1)对角线相等的平行四边形是矩形.
(2)有三个角是直角的四边形是矩形.
温馨提示
与菱形类似,矩形的两个判定定理与它的两个性质定理分别是互逆定理.注意这两种判定方法的起点不同,即一种是基于“平行四边形”的起点而开始判别的,一种是从“四边形”的基础上进行判别的.明确了这些细节,便于我们对矩形判定定理的理解、记忆与应用.

答案： 1．（1）相等 （2）直角

2.下面检查一个四边形门框是不是矩形的方法中正确的是(D).

A.用卷尺测量对角线是否互相平分
B.用卷尺测量对角线是否相等
C.用曲尺测量对角线是否互相垂直
D.用曲尺测量门框的三个角是不是直角

答案： 2．D

【例题】 如图,将□$ABCD$的边$DC$延长到点$E$,使$CE=DC$,连接$AE$,交$BC$于点$F$.若$\angle AFC=2\angle D$,连接$AC$,$BE$,求证:四边形$ABEC$是矩形.
思路点拨(1)四边形$ABEC$是什么特殊的四边形?

(2)$FB=FA$吗?为什么?由此可用什么方法判定四边形$ABEC$是矩形?
(3)$AE=AD$吗?为什么?由此可用什么方法判定四边形$ABEC$是矩形?
听课笔记:证明（方法1）在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD．∵CE=DC，∴AB=CE，又AB//CE，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF，BF=CF．在▱ABCD中，∠D=∠ABC．又∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE，∴∠ABC=∠BAE，∴AF=BF，∴AE=BC．∴▱ABEC是矩形．（方法2）同方法1，可证四边形ABEC是平行四边形．在▱ABCD中，AD//BC，∴∠D=∠BCE．∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE=∠BCE+∠AED，∴∠BCE=∠AED，∴∠D=∠AED，∴AE=AD．∵CE=DC，∴AC⊥DE，∠ACE=90°，∴▱ABEC是矩形．
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答案： 【例题】证明（方法1）在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD．
∵CE=DC，
∴AB=CE，又AB//CE，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AF=EF，BF=CF．
在▱ABCD中，∠D=∠ABC．又∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AF=BF，
∴AE=BC．
∴▱ABEC是矩形．
（方法2）同方法1，可证四边形ABEC是平行四边形．
在▱ABCD中，AD//BC，
∴∠D=∠BCE．
∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠BCE=∠BCE+∠AED，
∴∠BCE=∠AED，
∴∠D=∠AED，
∴AE=AD．
∵CE=DC，
∴AC⊥DE，∠ACE=90°，
∴▱ABEC是矩形．