《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

5. 如图，$AM // BN$，$C$ 是 $BN$ 上一点，$BD$ 是 $BN$ 上一点，$BD$ 平分 $\angle ABN$ 且过 $AC$ 的中点 $O$，交 $AM$ 于点 $D$，$DE \perp BD$，交 $BN$ 于点 $E$.
(1) 求证：$\triangle ADO \cong \triangle CBO$；
(2) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(3) 若 $DE = AB = 2$，求菱形 $ABCD$ 的面积.

答案： 5.
(1)证明：$\because$点$O$是$AC$的中点，$\therefore AO=CO.$
$\because AM// BN,\therefore \angle DAC=\angle ACB.$
在$\triangle AOD$和$\triangle COB$中，$\angle DAO=\angle BCO,AO=CO,\angle AOD=\angle COB,\therefore \triangle ADO\cong\triangle CBO(ASA).$
(2)证明：由
(1)得$\triangle ADO\cong\triangle CBO,\therefore AD=CB$，
又$AM// BN,\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
$\because AM// BN,\therefore \angle ADB=\angle CBD$，
$\because BD$平分$\angle ABN,\therefore \angle ABD=\angle CBD$，
$\therefore \angle ABD=\angle ADB,\therefore AD=AB$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形.
(3)解：菱形$ABCD$的面积为$2\sqrt{3}.$

1. 矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

答案： 1.平行四边形

2. 矩形的性质定理
(1)矩形的四个角都是直角.
(2)矩形的对角线相等.

答案： 2.
(1)直角　
(2)相等

3. 已知在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，则与 $\angle OAB$ 相等的角有(不包括 $\angle OAB$)(C).

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 3.C

4. 直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

答案： 4.斜边的一半

5. 已知在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 5\ cm$，$BC = 12\ cm$，$AC = 13\ cm$，则 $AC$ 边上的中线 $BD$ 的长为$\frac{13}{2}$ $cm$.

答案： 5.$\frac{13}{2}$

【例1】如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在 $BD$ 上，$BE = DF$.
(1)求证：$AE = CF$；
(2)若 $AB = 6$，$\angle COD = 60^{\circ}$，求矩形 $ABCD$ 的面积.
思路点拨 (1)要证 $AE = CF$，可以证明这两边所在的两个三角形全等，即可证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，或者证明 $\triangle AOE \cong \triangle COF$；也可以连接 $CE$，$AF$，证明四边形 $AECF$ 是平行四边形.

(2)由条件易知 $\triangle OCD$ 为等边三角形，故 $\angle ACD = 60^{\circ}$，再求 $AD$ 的长，即可计算矩形 $ABCD$ 的面积.
听课笔记：

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF；
又BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF。
(2)解：在矩形ABCD中，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，且AC=BD，
∴OC=OD。
∵∠COD=60°，
∴△COD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠CAD=30°。
在Rt△ACD中，CD=AB=6，
∴AC=12。
由勾股定理，得AD=6$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积为AB·AD=6×6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$。