《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

1. 若关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+mx + n = 0$ 的两根为 $-2$ 和 $1$，则 $n^{m}$ 的值为(C)。

A.$-8$
B.$8$
C.$16$
D.$-16$

答案： 1. C

2. 设一元二次方程 $x^{2}-3x - 5 = 0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$，则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为(B)。

A.$\frac{3}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$3$
D.$-5$

答案： 2. B

3. 已知一元二次方程 $x^{2}-3x - 2 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$，则 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)$ 的值是$-4$。

答案： 3. $-4$

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m - 3)x - m = 0$。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$，且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=7$，求 $m$ 的值。

答案： 4.
(1)证明 $\because \Delta = [-(m - 3)]^2 - 4 × 1 × (-m) = m^2 - 2m + 9 = (m - 1)^2 + 8 ＞ 0$，$\therefore$原方程有两个不相等的实数根.
(2)解 根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = m - 3, x_1x_2 = -m$.$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7, \therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$.$\therefore (m - 3)^2 - 3 × (-m) = 7$. 解得$m_1 = 1, m_2 = 2$.$\therefore m$的值为1或2.

1. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx - 1 = 0$ 的两根，下列结论一定正确的是(A)。

A.$x_{1}\neq x_{2}$
B.$x_{1}+x_{2}\lt0$
C.$x_{1}x_{2}\gt0$
D.$x_{1}\gt0,x_{2}\lt0$

答案： 1. A

2. 已知 $a,b$ 是一元二次方程 $x^{2}+3x - 2 = 0$ 的两根，则 $a^{2}+5a + 2b$ 的值是(B)。

A.$-5$
B.$-4$
C.$1$
D.$0$

答案： 2. B

3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2(m - 1)x + m^{2}=0$ 的两个实数根分别为 $x_{1},x_{2}$，且 $x_{1}+x_{2}\gt0,x_{1}x_{2}\gt0$，则 $m$ 的取值范围是(B)。

A.$m\leq\frac{1}{2}$
B.$m\leq\frac{1}{2}$，且 $m\neq0$
C.$m\lt1$
D.$m\lt1$，且 $m\neq0$

答案： 3. B

4. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-10x + m = 0$ 的两个实数根，且其面积为 $11$，则该菱形的边长为$\sqrt{14}$。

答案： 4. $\sqrt{14}$

5. 若实数 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2}-3x_{1}+1 = 0,x_{2}^{2}-3x_{2}+1 = 0$，求 $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值。

答案： 5. 解 对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0, a = 1, b = -3, c = 1, \Delta = b^2 - 4ac = 5, \therefore x_1 \neq x_2, x_1, x_2$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，有$x_1 + x_2 = 3, x_1x_2 = 1$. 故$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2} = \frac{(x_2 + x_1)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{3^2 - 2 × 1}{1} = 7$.