《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

4. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.△ABC与△FCD相似吗？请说明理由.

答案： 4.解 相似.理由如下，
∵AD = AC,
∴∠BCA = ∠CDF.
∵DE垂直平分线段BC,
∴EB = EC，
∴∠B = ∠FCD
∴△ABC∽△FCD.

1. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(C).

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

答案： 1.C

2. 如图，已知AD为∠BAC的平分线，ED//AB交AC于点E.如果$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}，$那么$\frac{AB}{AC}$等于(B).
$A. \frac{1}{3}$
$B. \frac{2}{3}$
$C. \frac{2}{5}$
$D. \frac{3}{5}$

答案： 2.B

3. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD:AB=3:1，则点C的坐标是(A).

A.(2,7)
B.(3,7)
C.(3,8)
D.(4,8)

答案： 3.A

4. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD相交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为1 2.

答案： 4.1 2

5. 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F，连接AC交BD于点O，连接OE，AP.求证：PE·PF=PC².

答案： 5.证明
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD = CD,∠CDP = ∠ADP,CD//AB.
在△CDP和△ADP中，$\begin{cases}CD = AD,\\∠CDP = ∠ADP,\\DP = DP,\end{cases}$
∴△CDP≌△ADP(SAS)，
∴PC = PA,∠DCP = ∠DAP.
∵CD//AB,
∴∠DCP = ∠F,
∴∠DAP = ∠F.
∵∠APE = ∠FPA,
∴△PAE∽△PFA，
∴$\frac{PA}{PF}=\frac{PE}{PA},$
∴PA² = PE·PF,
∴PE·PF = PC².