《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

【例题】定义：如图①，点 $ F $ 在线段 $ EH $ 上，若满足 $ EF^{2}=FH\cdot EH $，则称点 $ F $ 为线段 $ EH $ 的一个黄金分割点。如图②，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC = 2 $，$ \angle A = 36^{\circ} $，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ D $。
(1) 求证：点 $ D $ 是线段 $ AC $ 的黄金分割点；
(2) 求线段 $ BC $ 的长。
思路点拨 (1) 利用已知条件，求解线段 $ AD $，$ DC $，$ AC $ 之间的数量关系，进而求证；(2) 利用 (1) 中结论构建方程可求得 $ AD $ 的值，即得线段 $ BC $ 的长。
听课笔记：
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答案： 【例题】
(1)证明 $\because \angle A = 36^{\circ},AB = AC$，
$\therefore \angle ABC = \angle C = 72^{\circ}$.
又 BD 平分$\angle ABC,\therefore \angle DBC = \angle ABD = 36^{\circ}$.
在\triangle ABC 与\triangle BDC 中，$\angle A = \angle DBC,\angle C = \angle C$，
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle BDC,\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC},即 BC^{2}=DC \cdot AC$.
$\because \angle A = 36^{\circ},\angle ABD = 36^{\circ},\therefore BD = AD$.
同理 BD = BC.$\therefore AD = BC,\therefore AD^{2}=DC \cdot AC$.
$\therefore$ 点 D 是线段 AC 的黄金分割点.
(2)解 设 AD = x，由
(1)中的结论，
得 $x^{2}=2(2 - x)$，即 $x^{2}+2x - 4 = 0$，
解得 $x_{1}=\sqrt{5}-1,x_{2}=-\sqrt{5}-1$(舍去).
$\therefore AD=\sqrt{5}-1$. 又 AD = BC,$\therefore BC=\sqrt{5}-1$.

1. 若点 $ P $ 是线段 $ AB $ 的一个黄金分割点，且 $ AP＞PB $，则下列结论：
① $ AB^{2}=AP\cdot PB $；
② $ AP^{2}=PB\cdot AB $；
③ $ BP^{2}=AP\cdot AB $；
④ $ AP:AB = PB:AP $。
其中正确的是②④。(填序号)

答案： 1.②④

2. 若把长为 $ 10 $ 的线段黄金分割，则其中较短的线段的长度是15 - 5\sqrt{5}。

答案： $2.15 - 5\sqrt{5}$

3. 已知点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的一个黄金分割点，且 $ BC = AC + 2 $，求线段 $ AC $ 的长。

答案： 3.解 设 AC = x，则 BC = x + 2,AB = 2x + 2.
$\because$ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，
$\therefore BC^{2}=AC \cdot AB,\therefore (x + 2)^{2}=x(2x + 2)$，
$\therefore x^{2}-2x - 4 = 0$，
解得 $x_{1}=1+\sqrt{5},x_{2}=1-\sqrt{5}$(舍去).
$\therefore AC = 1+\sqrt{5}$.