《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

6. 已知3是关于$x$的方程$x^2 - (m + 1)x + 2m = 0$的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边长，求$\triangle ABC$的周长。

答案： 6.△ABC的周长为10或11.

1. 对于用配方法解一元二次方程而言，“将二次项系数化为 1”是前提，“方程两边同时加一次项系数一半的平方”是关键。

答案： 答案略

2. 填空：
(1) $2x^{2}+6x+$______$=2(x+$______$)^{2}$；
(2) $2x^{2}+x - 1 = 2(x+$______$)^{2}-$______；
(3) $3x^{2}-5x+$______$=3(x-$______$)^{2}-\frac{13}{12}$。

答案： 2.
(1)$\frac{9}{2}$ $\frac{3}{2}$
(2)$\frac{1}{4}$ $\frac{9}{8}$
(3)1 $\frac{5}{6}$

3. 与实际问题相关的一元二次方程，它的两个解未必都符合实际问题，因此，解完一元二次方程之后，要按题意检验这些解是不是实际问题的解。

答案： 答案略

4. 用长 $22\ cm$ 的铁丝，折成一个面积为 $28\ cm^{2}$ 的矩形，则这个矩形的长是______$cm$。

答案： 4.7

【例 1】解方程：(1) $2x^{2}-1 = 3x$；
(2) $\frac{1}{4}x^{2}-x - 4 = 0$。
思路点拨 如何把方程转化为二次项系数是 1 的形式？求解配方时配成的完全平方式是什么？
听课笔记：解(1)移项，得2x²-3x=1.二次项系数化为1，得x²-$\frac{3}{2}$x=$\frac{1}{2}$.配方，得x²-$\frac{3}{2}$x+($\frac{3}{4}$)²=$\frac{1}{2}$+($\frac{3}{4}$)²,(x-$\frac{3}{4}$)²=$\frac{17}{16}$.

答案： 【例 1】解
(1)移项，得2x²-3x=1.
二次项系数化为1，得x²-$\frac{3}{2}$x=$\frac{1}{2}$.
配方，得x²-$\frac{3}{2}$x+($\frac{3}{4}$)²=$\frac{1}{2}$+($\frac{3}{4}$)²,
(x-$\frac{3}{4}$)²=$\frac{17}{16}$.
由此可得x-$\frac{3}{4}$=$\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$,
所以x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$,x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$.
(2)移项，得$\frac{1}{4}$x²-x=4.
方程两边同时乘4，得x²-4x=16.
配方，得x²-4x+2²=16+2².
即(x-2)²=20.
两边开平方，得x-2=$\pm\sqrt{20}$,即x=2$\pm2\sqrt{5}$.
所以x₁=2+2$\sqrt{5}$,x₂=2-2$\sqrt{5}$.