《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

【例题】如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$AE // BC$，$CE \perp AE$，垂足为 $E$。
(1) 求证：$\triangle ABD \cong \triangle CAE$；
(2) 连接 $DE$，线段 $DE$ 与 $AB$ 之间有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的结论。

思路点拨 (1) $\triangle ABD$ 是什么特殊的三角形？四边形 $ADCE$ 是什么特殊的四边形？
(2) 四边形 $ABDE$ 是什么特殊的四边形？
听课笔记：
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【名师点津】
证明两条线段相等，除了运用全等三角形、等腰三角形的知识外，还可运用平行四边形的对边相等、对角线互相平分、矩形的对角线相等来证明。
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答案：
(1)证明
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,BD=CD,∠ADC=90°.
∵AE//BC,
∴∠EAD=180°-∠ADC=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠AEC=∠EAD=∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形,
∴AD=CE.
又AB=AC,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
(2)解DE//AB,DE=AB.证明如下：
∵四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=BD,AE//BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴DE//AB,DE=AB.

1. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC$ 的中垂线交 $AC$，$AB$ 于点 $D$，$F$，$BE \perp DF$ 交 $DF$ 的延长线于点 $E$，若 $\angle A = 30°$，$BC = 2$，$AF = BF$，则四边形 $BCDE$ 的面积是(A)。


A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
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答案： 1.A

2. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 的直线分别交 $AD$ 和 $BC$ 于点 $E$，$F$。若 $AB = 2$，$BC = 3$，则图中阴影部分的面积为3。

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答案： 2.3

3. 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$DB$ 相交于点 $O$，现给出如下三个条件：① $AB = DC$；② $AC = DB$；③ $\angle OBC = \angle OCB$。请你再增加一个条件：AD=BC，使得四边形 $ABCD$ 为矩形。(不添加其他字母和辅助线，只填一个即可，不必证明)

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答案： 3.AD=BC（AO=OC或BO=OD或∠ABC=90°等，答案不唯一）

4. 已知在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 6$，若点 $P$ 在 $AD$ 边上，连接 $BP$，$PC$，$\triangle BPC$ 是以 $PB$ 为腰的等腰三角形，则 $PB$ 的长为5或6。

答案： 4.5或6