《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别是 $AO$，$AD$ 的中点，连接 $EF$，若 $AB = 6\ cm$，$BC = 8\ cm$，则 $EF$ 的长是(D).

A.$2.2\ cm$
B.$2.3\ cm$
C.$2.4\ cm$
D.$2.5\ cm$

答案： 2.D

3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $P$ 是 $BC$ 的中点，线段 $AP$ 的延长线与 $DC$ 的延长线交于点 $E$.
(1)求证：$\triangle ABP \cong \triangle ECP$；
(2)连接 $AC$，$BE$，求证：四边形 $ABEC$ 是平行四边形.

答案： 3.证明：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠ECP=90°，AB//DC，
∴∠BAP=∠CEP。
∵点P是BC的中点，
∴BP=CP，
∴△ABP≌△ECP(AAS)。
(2)由△ABP≌△ECP可得AP=EP，
∵点P是BC的中点，
∴BP=CP，
∴四边形ABEC是平行四边形。

1. 如图，矩形 $ABCD$ 中，$AD = 4$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$OE \perp AC$ 交 $BC$ 于点 $E$，$CE = 3$，则矩形 $ABCD$ 的面积为(B).

A.$4\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.12
D.32

答案： 1.B

2. 如图，以 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 为对角线构造矩形 $ADBE$，连接 $DE$ 分别交 $AB$，$AC$ 于点 $O$，$F$，若 $F$ 为 $AC$ 的中点，$BD = 5$，$AD = BC = 12$，则 $EF =$0.5.

答案： 2.0.5

3. 如图，延长矩形 $ABCD$ 的边 $BC$ 至点 $E$，使 $CE = BD$，连接 $AE$. 若 $\angle ADB = 30^{\circ}$，则 $\angle E$ 的度数是15°.

答案： 3.15°

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $M$ 在 $DC$ 上，$AM = AB$，且 $BN \perp AM$，垂足为 $N$.

(1)求证：$\triangle ABN \cong \triangle MAD$；
(2)若 $AD = 2$，$AN = 4$，求四边形 $BCMN$ 的面积.

答案： 4.
(1)证明：在矩形ABCD中，∠D=90°，DC//AB，
∴∠BAN=∠AMD。
∵BN⊥AM，
∴∠BNA=90°。
在△ABN和△MAD中，$\begin{cases} ∠BAN=∠AMD \\ ∠BNA=∠D=90° \\ AB=AM \end{cases}$
∴△ABN≌△MAD(AAS)。
(2)解：
∵△ABN≌△MAD，
∴BN=AD。
∵AD=2，
∴BN=2，
又AN=4，在Rt△ABN中，AB=$\sqrt{AN^{2}+BN^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$S_{矩形ABCD}$=2×2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$，$S_{△ABN}$=$S_{△MAD}$=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
∴$S_{四边形BCMN}$=$S_{矩形ABCD}$ - $S_{△ABN}$ - $S_{△MAD}$=4$\sqrt{5}$ - 8。