《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

1. 对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)，当 $$_________$\geqslant0$ 时，它的根是 ______。这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。

答案： 1.$b^{2}-4ac$ $x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$

2. 对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)，
当 $b^{2}-4ac$_________$0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
当 $b^{2}-4ac$_________$0$ 时，方程有两个相等的实数根；
当 $b^{2}-4ac$_________$0$ 时，方程没有实数根。
由此可知，一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)的根的情况可由 $b^{2}-4ac$ 来判定。我们把 $b^{2}-4ac$ 叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)的根的判别式，通常用希腊字母“$\Delta$”来表示。

答案： 2.$＞$ = $＜$ $\Delta$

3. 用配方法推导一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)的求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$($b^{2}-4ac\geqslant0$)的过程中，下列性质：①等式的性质；②分式的基本性质；③开平方的性质，没有用到的有(D)。

A.$3$ 个
B.$2$ 个
C.$1$ 个
D.$0$ 个

答案： 3.D

【例 1】用公式法解下列方程：
(1) $4x^{2}+5x = 1$；
(2) $x^{2}-4\sqrt{3}x = -12$。
思路点拨 (1) 所给方程是不是一般形式？系数 $a$，$b$，$c$ 的值分别是多少？
(2) 方程判别式的值是多少？求根公式是什么？
听课笔记：
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答案： 【例1】解
(1)方程化为$4x^{2}+5x - 1 = 0$,$a = 4$,$b = 5$,$c = - 1$,$b^{2}-4ac = 5^{2}-4×4×(-1)=25 + 16 = 41$,
$\therefore x = \frac { - 5 \pm \sqrt { 4 1 } } { 8 }$,即$x _ { 1 } = \frac { - 5 + \sqrt { 4 1 } } { 8 }$,$x _ { 2 } = \frac { - 5 + \sqrt { 4 1 } } { 2 }$（此处$x_2$原文疑似书写错误，按公式应为$\frac { - 5 - \sqrt { 4 1 } } { 8 }$但按格式保留原文）。
(2)方程化为$x^{2}-4\sqrt{3}x + 12 = 0$,$a = 1$,$b = - 4\sqrt{3}$,$c = 12$,$b^{2}-4ac = (-4\sqrt{3})^{2}-4×1×12 = 0$,
$\therefore x = \frac { 4 \sqrt { 3 } \pm 0 } { 2 }$,即$x _ { 1 } = x _ { 2 } = 2 \sqrt { 3 }$.