《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

【例题】如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，$AC \perp BD$，垂足为 $O$.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2) 若 $CD = 3$，$BD = 2\sqrt{5}$，求四边形 $ABCD$ 的面积.
思路点拨 (1) $\angle ABD$，$\angle CBD$ 及 $\angle ADB$ 相等吗？$\triangle AOD$ 与 $\triangle COB$ 是否全等？$BC$ 与 $AD$ 有何关系？四边形 $ABCD$ 是平行四边形吗？其四条边是否相等？你有哪些方法证明四边形 $ABCD$ 是菱形？
由已知条件易证 $\triangle AOD \cong \triangle COB$，进而可通过对角线互相平分且垂直证得结论；
(2) 如何求 $AC$ 的长？菱形的面积与其对角线乘积的一半有何数量关系？
听课笔记：

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答案：
(1)证明：$\because AB=AD,\therefore \angle ABD=\angle ADB.$
$\because BD$平分$\angle ABC,\therefore \angle ABD=\angle CBD$，
$\therefore \angle ADB=\angle CBD.$
$\because AC\perp BD,AB=AD,\therefore BO=DO.$
在$\triangle AOD$和$\triangle COB$中，$\because \angle AOD=\angle COB,OB=OD,\angle ADB=\angle CBD,\therefore \triangle AOD\cong\triangle COB$，
$\therefore AO=CO,\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
又$AC\perp BD,\therefore □ ABCD$是菱形.
(2)解：$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore OD=\frac{1}{2}BD=\sqrt{5}.$
在$Rt\triangle CDO$中，$OC=\sqrt{CD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=2$，
$\therefore AC=4.$
$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}.$

1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 是菱形，点 $C$ 的坐标为 $(1, 2)$，则菱形 $OABC$ 的面积是(B).

A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5} - 1$

答案： 1.B

2. 如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形 $ABCD$，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$. 下列结论不一定成立的是(D).


A.$AB = AD$
B.$OA = OC$
C.$AC \perp BD$
D.$AC = AD$

答案： 2.D