《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

1. 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$，那么 $x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=$。

答案： 1. $-\frac{b}{a}$

2. 若一元二次方程 $x^{2}-2x = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，则 $x_{1}x_{2}$ 为(D)。

A.$-2$
B.$1$
C.$2$
D.$0$

答案： 2. D

3. 若 $x_{1},x_{2}$ 为方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}+x_{2}=$-1。

答案： 3. $-1$

4. 已知 $x = 4$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x + c = 0$ 的一个根，则另一个根为$x = -1$。

答案： 4. $x = -1$

【例 1】设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $2x^{2}-5x - 6 = 0$ 的两根，求 $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$ 的值。
思路点拨 可把 $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$ 化成含 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的形式，利用一元二次方程根与系数的关系求解。
听课笔记：解 $\because x_1 + x_2 = \frac{5}{2}, x_1x_2 = -3, \therefore \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(\frac{5}{2})^2 + 2 × 3}{9} =$$\frac{49}{36}$
【名师点津】
解决此类题目的关键是将求值的代数式变形为含 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的形式。运用根与系数的关系求代数式的值时，一定要保证二次项系数不为 $0$ 和方程有实数根这两个条件。

答案： 解 $\because x_1 + x_2 = \frac{5}{2}, x_1x_2 = -3, \therefore \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(\frac{5}{2})^2 + 2 × 3}{9} =$$\frac{49}{36}$

【例 2】已知关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-(3k - 1)x + 2(k - 1)=0$。
(1)求证：无论 $k$ 为何实数，方程总有实数根；
(2)若此方程有两个实数根 $x_{1},x_{2}$，且 $|x_{1}-x_{2}| = 2$，求 $k$ 的值。
思路点拨 (1)该方程是一元一次方程还是一元二次方程？是一元一次方程时 $k$ 的值是多少？是一元二次方程时，判别式有何特点？
(2)通过把条件 $|x_{1}-x_{2}| = 2$ 两边平方，配方构造出整体“$x_{1}x_{2}$”与“$x_{1}+x_{2}$”，然后利用根与系数的关系得到一个分式方程求得 $k$ 值。
听课笔记：
【名师点津】
1. 当二次项系数含有字母，且题目中未指明方程是一元几次方程时，应注意分类讨论，全面获解。
2. 根与系数的关系是求解一元二次方程中未知字母值的重要数量关系，可结合两根之差通过配方相互进行转化。

答案：
(1)证明 分两种情况讨论：①当$k = 0$时，方程为$x - 2 = 0$，解得$x = 2$，即方程有实数根；②当$k \neq 0$时，一元二次方程的根的判别式$\Delta = [-(3k - 1)]^2 - 4k \cdot 2(k - 1) = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2 \geq 0$，所以当$k$为不等于0的实数时，方程总有实数根.综合①②，可知无论$k$为何实数，方程总有实数根.
(2)解 由
(1)可知，当$k \neq 0$时，方程有两个实数根，由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = \frac{3k - 1}{k}, x_1x_2 = \frac{2(k - 1)}{k}$.$\because |x_1 - x_2| = 2$，$\therefore (x_1 - x_2)^2 = 4$，即$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4$，$\therefore (\frac{3k - 1}{k})^2 - \frac{8(k - 1)}{k} = 4$.整理，得$3k^2 - 2k - 1 = 0$. 解得$k_1 = 1, k_2 = -\frac{1}{3}$.