《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

2. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当平行四边形ABCD满足：①∠1 = ∠2；②∠2 = ∠3；③∠B = ∠3；④∠1 = ∠3中的某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是(D).


A.①或②　　
B.②或③
C.③或④　　
D.①或④

答案： 2.D

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，点E是AC的中点，AC = 2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF//BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形.
思路点拨(1)△AEF与△CED全等吗？线段AF与CD是否相等？
(2)四边形ADCF是平行四边形吗？为什么？
(3)△AED与△ABD全等吗？∠AED等于多少度？
听课笔记：________________________
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答案： 【例1】证明
∵AF//CD，
∴∠EAF=∠ECD,∠EFA=∠EDC.
又点E是AC的中点,
∴AE=CE，
∴△AEF≌△CED,
∴AF=CD.
又AF//CD,
∴四边形ADCF是平行四边形.
在△AED和△ABD中，由题意，知AE=AB，
∠EAD=∠BAD,AD=AD,
∴△AED≌△ABD，
∴∠AED=∠B=90°,即DF⊥AC.
∴四边形ADCF是菱形.

【例2】在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM//AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
思路点拨(1)由翻折可得四边形ABMD的哪些边相等？
(2)∠BAM，∠DAM与∠AMD有何数量关系？AD与DM相等吗？
听课笔记：________________________
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答案： 【例2】证明
∵AB//DM,
∴∠BAM=∠AMD.
∵△ADC是由△ABC翻折得到的，
∴∠BAM=∠DAM,AB=AD,BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD,
∴AD=DM，
∴AD=DM=AB=BM，
∴四边形ABMD是菱形.