《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

【例2】如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$. 若 $\triangle ABC$ 的周长为 $15$，则菱形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 的长为(A).

A. $5\sqrt{3}$
B. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$
C. $10\sqrt{3}$
D. $\frac{5\sqrt{3}}{4}$
思路点拨 根据菱形的性质可得 $AB = BC$，然后证明 $\triangle ABC$ 是等边三角形，进而可得 $AB$，$AO$ 的长度，最后根据勾股定理求得 $BO$ 的长度，进而求得 $BD$ 的长度.
听课笔记：
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答案： 【例2】A
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC.
∵∠BAD=120°,
∴∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形，
又△ABC的周长为15,
∴AC=AB=BC=5.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,AO=$\frac{5}{2}$,
∴OB=$\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
∴BD=$5\sqrt{3}$.

1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle A = 130^{\circ}$，连接 $BD$，$\angle DBC$ 等于(A).
A. $25^{\circ}$
B. $35^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. $65^{\circ}$

2. 求证：菱形的两条对角线互相垂直.
如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$.
求证：$AC\perp BD$.
以下是排乱的证明过程：
① 又 $BO = DO$，
② $\therefore AO\perp BD$，即 $AC\perp BD$.
③ $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
④ $\therefore AB = AD$.
证明步骤正确的顺序是(B).

A. ③→②→①→④
B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③
D. ①→④→③→②

答案： 1.A 2.B

3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ABCD$ 对角线的交点坐标是 $O(0,0)$，点 $B$ 的坐标是 $(0,1)$，且 $BC = \sqrt{5}$，则点 $A$ 的坐标是(2,0).

4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$CE = CF$. 求证：$AE = AF$.

答案： 3.(2,0)
4.证明
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.
∵CE=CF,
∴BE=DF.
答案
在△ABE和△ADF中，
∵
$\begin{cases}AB=AD,\\∠B=∠D,\\BE=DF,\end{cases}$
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF.