《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

【例题】如图，已知在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$AD = CD$，$E$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $EA = EC$.

(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2) 如果 $BE = BC$，且 $\angle CBE : \angle BCE = 2 : 3$，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.
思路点拨 (1) 由条件可证 $\triangle ADE \cong \triangle CDE$，则有 $\angle ADE = \angle CDE$，再结合条件 $AD // BC$ 可证 $BC = CD$，进而得 $AD = BC$，则四边形 $ABCD$ 为平行四边形，又 $AD = CD$，故 $□ ABCD$ 是菱形；
(2) 易知 $\triangle BEC$ 为等腰三角形，利用三角形的内角和定理可求 $\angle CBE = 45^{\circ}$，由菱形性质可得 $\angle ABC = 90^{\circ}$，故菱形 $ABCD$ 是正方形.
听课笔记：
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答案： 【例题】证明
(1)在△ADE与△CDE中，
∵AD=CD,DE=DE,EA=EC，
∴△ADE≌△CDE,
∴∠ADE=∠CDE.
∵AD//BC,
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD,
∴BC=CD.
又AD=CD,
∴BC=AD.
又AD//BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AD=CD,
∴□ABCD是菱形.
(2)
∵BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC.
∵∠CBE:∠BCE=2:3，
∴$∠CBE=180°×\frac{2}{2+3+3}=45°.$
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∴∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.

1. 已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，则下列结论错误的是(B).

A.$OA = OC$，$OB = OD$
B.当 $AB = CD$ 时，四边形 $ABCD$ 是菱形
C.当 $\angle ABC = 90^{\circ}$ 时，四边形 $ABCD$ 是矩形
D.当 $AC = BD$ 且 $AC \perp BD$ 时，四边形 $ABCD$ 是正方形

答案： 1.B

2. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题. 从下列四个条件① $AB = BC$；② $\angle ABC = 90^{\circ}$；③ $AC = BD$；④ $AC \perp BD$ 中选两个作为补充条件，使 $□ ABCD$ 成为正方形，如图. 现有下列四种选法，你认为错误的是(B).

A.①②
B.②③
C.①③
D.②④

答案： 2.B