《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

3. 如图，已知在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 是 $BD$ 延长线上的点，且 $\triangle ACE$ 是等边三角形.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

(2) 若 $\angle AED = 2 \angle EAD$，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.

答案： 3.证明
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC.
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)
∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°.
∵EO⊥AC,
∴$∠AEO=\frac{1}{2}∠AEC=30°.$
∵∠AED=2∠EAD,
∴∠EAD=15°.
∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=2∠ADO=90°.
∴菱形ABCD是正方形.

1. 如图，小刚用四根长度相同的木条制成了可以活动的四边形学具，他先将学具活动成正方形 $ABCD$，接着活动成菱形 $A'B'C'D'$，且通过测量得到 $\angle B' = 60^{\circ}$，若他想将四边形固定下来，需要再添加木条 $AC$，$A'C'$，则 $\frac{AC}{A'C'}$ 的值为(C).

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 1.C

2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$BD \perp AD$，$AB = 10$，$AD = 6$，$O$ 为 $BD$ 的中点，$E$ 为边 $AB$ 上一点，直线 $EO$ 交 $CD$ 于点 $F$，连接 $DE$，$BF$. 下列结论不成立的是(D).

A.四边形 $DEBF$ 为平行四边形
B.若 $AE = 3.6$，则四边形 $DEBF$ 为矩形
C.若 $AE = 5$，则四边形 $DEBF$ 为菱形
D.若 $AE = 4.8$，则四边形 $DEBF$ 为正方形

答案： 2.D

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC$ 的垂直平分线 $EF$ 交 $BC$ 于点 $D$，交 $AB$ 于点 $E$，且 $BE = BF$，请你添加一个条件AC=BC，使四边形 $BECF$ 是正方形.

答案： 3.AC=BC(答案不唯一)

4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$，$O$，$F$ 分别为 $AB$，$AC$，$AD$ 的中点，连接 $CE$，$CF$，$OE$，$OF$.
(1) 求证：$\triangle BCE \cong \triangle DCF$；
(2) 当 $AB$ 与 $BC$ 满足什么位置关系时，四边形 $AEOF$ 是正方形？请说明理由.

答案： 4.
(1)证明
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD.
∵点E,F分别为AB,AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF.
在△BCE和△DCF中，
$\begin{cases}BE=DF,\\∠B=∠D,\\BC=DC,\end{cases}$
∴△BCE≌△DCF.
(2)解当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形.理由略.

5. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是 $CD$ 的中点，连接 $AO$ 并延长，交 $BC$ 的延长线于点 $E$.
(1) 求证：$\triangle AOD \cong \triangle EOC$；
(2) 连接 $AC$，$DE$，当 $\angle B$ 等于 $\angle AEB$ 并为多少度时，四边形 $ACED$ 是正方形？请说明理由.

答案： 5.
(1)证明
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠ADO=∠OCE,∠DAO=∠CEO.
又O是CD的中点，
∴OC=OD.
∴△AOD≌△EOC.
(2)解当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形.理由如下：
∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD.
∴∠COE=∠BAE=90°.
∴平行四边形ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,
∴AE=CD.
∴菱形ACED是正方形.