《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

1. 相似三角形的判定定理
(1) 两角分别相等的两个三角形相似.
(2) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(3) 三边成比例的两个三角形相似.

答案： 1.
(1)相等
(2)成比例 相等
(3)成比例

2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，如果添加下列条件，那么不能使得 $\triangle ABC \backsim \triangle DCA$ 成立的是(D).


A.$\angle BAC = \angle ADC$
B.$\angle B = \angle ACD$
C.$AC^{2} = AD \cdot BC$
D.$\frac{DC}{AC} = \frac{AB}{BC}$

答案： 2.D

【例题】如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$AE = EB$，$MN = 1$，线段 $MN$ 的两端点在 $CB$，$CD$ 上滑动，当 $CM$ 为何值时，$\triangle AED$ 与以点 $M$，$N$，$C$ 为顶点的三角形相似?

思路点拨 由于未指明两三角形的对应关系，所以要分 $CM$ 与 $AE$ 或 $AD$ 分别是对应边两种情况进行求解.
听课笔记：
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答案： 【例题】解$ DE=\sqrt{AE^{2}+AD^{2}}=\sqrt{5}.$
当$\triangle AED \sim \triangle CMN$时，AE:CM=DE:MN，
即$ 1:CM=\sqrt{5}:1，$解得$ CM=\frac{\sqrt{5}}{5};$
当$\triangle AED \sim \triangle CNM$时，AD:CM=DE:MN，
即$ 2:CM=\sqrt{5}:1，$解得$ CM=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
所以当$ CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，$\triangle AED$与以M,N,C为
顶点的三角形相似.