《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-2x + 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是 $k\leqslant1$,且$k\neq0$。

答案： 4.$k\leqslant1$,且$k\neq0$

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 3)(x - 2)=\vert m\vert$。
(1) 求证：对于任意实数 $m$，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的一个根是 $1$，求 $m$ 的值及方程的另一根。

答案： 5.
(1)证明 原方程可化为$x^{2}-5x + 6 - |m| = 0$,
$\therefore\Delta = (-5)^{2}-4(6 - |m|)=1 + 4|m|$.
$\because|m|\geqslant0$,$\therefore1 + 4|m|＞0$,即$\Delta＞0$,
$\therefore$对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解 把$x = 1$代入原方程，得$|m| = 2$,$\therefore m = \pm2$.
当$|m| = 2$时，原方程可化为$x^{2}-5x + 4 = 0$,解得$x _ { 1 } = 1$,$x _ { 2 } = 4$,
$\therefore$另一个根是$4$.

1. 已知 $m$，$n$，$4$ 分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且 $m$，$n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + k + 2 = 0$ 的两个根，则 $k$ 的值等于(B)。

A.$7$
B.$7$ 或 $6$
C.$6$ 或 $-7$
D.$6$

答案： 1.B

2. 在平面直角坐标系中，若直线 $y = 2x + a$ 不经过第二象限，则关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+2x + 1 = 0$ 的实数根的个数为(D)。

A.$0$
B.$0$ 或 $1$
C.$2$
D.$1$ 或 $2$

答案： 2.D

3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+6x + c = 0$ 的一个根是 $x = 1$，则关于 $x$ 的方程 $x^{2}+6x - c = 0$ 的根的情况是(C)。

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有一个根是 $x = 1$

答案： 3.C

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2m + 3)x + m^{2}+3m + 2 = 0$ 有两个不同的实数根。
(1) 若 $x = 2$ 是方程的一个根，求 $m$ 的值；
(2) 若以这个方程的两个实数根作为 $\triangle ABC$ 中 $AB$，$AC$（$AB\lt AC$）的长，当 $BC=\sqrt{5}$ 时，$\triangle ABC$ 是直角三角形，求 $m$ 的值。

答案： 4.解
(1)$\because x = 2$是方程的一个根，
$\therefore4 - 2(2m + 3)+m^{2}+3m + 2 = 0$,整理得$m^{2}-m = 0$,$\therefore m = 0$或$m = 1$.
(2)$\because\Delta = [ - ( 2 m + 3 ) ] ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } + 3 m + 2 ) = 1$,
$\therefore x = \frac { 2 m + 3 \pm 1 } { 2 }$,$\therefore x _ { 1 } = m + 2$,$x _ { 2 } = m + 1$.
$\because AB,AC(AB ＜ AC)$的长是这个方程的两个实数根，
$\therefore AC = m + 2 ＞ 0$,$AB = m + 1 ＞ 0$,$\therefore m ＞ - 1$.
$\because BC = \sqrt { 5 }$,$\triangle ABC$是直角三角形，
$\therefore$当$BC$为斜边时，有$(m + 2)^{2}+(m + 1)^{2}=(\sqrt{5})^{2}$,解得$m _ { 1 } = - 3$(不符合题意，舍去),$m _ { 2 } = 0$;
当$AC$为斜边时，有$(\sqrt{5})^{2}+(m + 1)^{2}=(m + 2)^{2}$,
解得$m = 1$.
综上所述，$m$的值为$0$或$1$.