《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

3. 如图，过□ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.

(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形.

答案： 3.
(1)证明
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB=ED,AB//CD，
∴∠EBP=∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
$\begin{cases} ∠EBP=∠EDQ, \\ EB=ED, \\ ∠BEP=∠DEQ, \end{cases}$
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)证明
∵△PBE≌△QDE,
∴EP=EQ.
同理:△BME≌△DNE(ASA)，
∴EM=EN,
∴四边形PMQN是平行四边形.
又PQ⊥MN,
∴四边形PMQN是菱形.

4. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF = 2DE，连接CE，AF.
(1)求证：AF = CE；
(2)当∠B = 30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由.

答案： 4.
(1)证明
∵点D,E分别是边BC,AB的中点，
∴$DE//AC,DE=\frac{1}{2}AC,$
∴EF//AC.
∵EF=2DE,
∴EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解四边形ACEF是菱形.理由如下：
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠BAC=60°.
又E是AB的中点,
∴$AC=AE=\frac{1}{2}AB，$
∴△ACE是等边三角形,
∴AC=CE.
又四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形.

1. 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半. 进而可以推广得到如下结论: 对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.

答案： 答案略

2. 如图, 四边形 $ABCD$ 的四条边相等, 且面积为 $120 cm^2$，对角线 $AC = 24 cm$，则四边形 $ABCD$ 的周长为(A).

A.$52 cm$
B.$40 cm$

C.$39 cm$
D.$26 cm$

答案： 2.A

3. 已知一个菱形的边长为 $2$，较长的对角线长为 $2\sqrt{3}$，则这个菱形的面积是$2\sqrt{3}$.

答案： 3.$2\sqrt{3}$