《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

1. 菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
温馨提示
1. 菱形的定义包含两层含义：一是平行四边形，二是有一组邻边相等，二者缺一不可.
2. 菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，又有它特有的性质. 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，这为解决图形的旋转和对称提供了重要依据.

答案： 1.平行四边形

2. 菱形的性质定理
(1) 菱形的四条边相等.
(2) 菱形的对角线互相垂直.

答案： 2.
(1)相等
(2)互相垂直

3. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，下列说法错误的是(D).


A.$OA = OC$
B.$\angle DAC=\angle BAC$
C.$AC\perp BD$
D.$AC = BD$

答案： 3.D

【例1】如图，在菱形 $ABCD$ 中，过点 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于点 $E$，作 $DF\perp BC$ 于点 $F$，连接 $EF$.
求证：(1) $\triangle ADE\cong\triangle CDF$；
(2) $\angle BEF=\angle BFE$.

思路点拨 (1) $\triangle ADE$ 与 $\triangle CDF$ 中有哪些线段相等？有哪些角相等？为什么？
(2) 在 $\triangle BEF$ 中，$BE$ 与 $BF$ 是否相等？
听课笔记：
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答案： 【例1】证明
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD,∠A=∠C(菱形的四条边相等，对角相等).
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
在△ADE与△CDF中，
∵
$\begin{cases}∠A=∠C,\\∠AED=∠CFD,\\AD=CD,\end{cases}$
∴△ADE≌△CDF(AAS).
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC(菱形的四条边相等).
由
(1)得△ADE≌△CDF,
∴AE=CF.
∴AB-AE=BC-CF,
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE.