《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

2. 下列各图象表示的函数中,没有零点的是(D)

答案： D

3. 对于函数$f(x)$,若$f(-1)f(3)＜0$,则(D)
A.方程$f(x)= 0$一定有一实数解
B.方程$f(x)= 0$一定无实数解
C.方程$f(x)= 0$一定有两实根
D.方程$f(x)= 0$可能无实数解

答案： D

4. 函数$f(x)= 3^{x}-4$的零点所在区间为(D)
A.$(0,1)$
B.$(-1,0)$
C.$(2,3)$
D.$(1,2)$

答案： D

5. 函数$f(x)= 2024x - 2025$的零点是(D)
A.$(\frac{2025}{2024},0)$
B.$2025$
C.$-2025$
D.$\frac{2025}{2024}$

答案： D

[例 1] (1) 求函数$f(x)= -x^{2}-4x - 4$的零点；
(2) 求函数$f(x)= \begin{cases}x^{2}+2x - 3,x\leq0,\\-2+\ln x,x＞0\end{cases} $的零点.
听课记录：
[变式拓展]
1. 将本例(1)的题设改为：若函数$f(x)= x^{2}+ax + b的零点是2和-4$,求$a$,$b$的值.
2. 将本例(1)的题设改为：已知函数$f(x)= ax - b(a\neq0)的零点为3$,求函数$g(x)= bx^{2}+ax$的零点.

答案： 解:
(1)令 -x² - 4x - 4 = 0,解得x = -2.所以函数的零点为 -2.
(2)当x≤0时,令x² + 2x - 3 = 0,解得x = -3;
当x ＞ 0时,令 -2 + ln x = 0,解得x = e².
所以函数f(x) = {x² + 2x - 3, x ≤ 0; -2 + ln x, x ＞ 0}的零点为 -3和e².
[变式拓展]
1. 解:由函数f(x)=x²+ax+b的两个零点是2和 -4,知方程x²+ax+b=0的两个根是2和 -4,由根与系数的关系可知{2 + (-4) = -a, 2×(-4) = b},解得a = 2,b = -8.
即a,b的值分别是2和 -8.
2. 解:由已知得f
(3)=0即3a - b = 0,即b = 3a.
故g(x)=3ax²+ax=ax(3x + 1).
令g(x)=0,即ax(3x + 1)=0,解得x = 0或x = -$\frac{1}{3}$.
所以函数g(x)的零点为0和 -$\frac{1}{3}$.

1.(多选)方程$(x^{2}-4)\sqrt{2x - 1}= 0$的解可以是(CD)
A.$x= -2$
B.$x= -\frac{1}{2}$
C.$x= \frac{1}{2}$
D.$x= 2$

答案： 选CD 由题意,得方程(x² - 4)$\sqrt{2x - 1}$ = 0,则x² - 4 = 0或2x - 1 = 0,解得x = ±2或x = $\frac{1}{2}$.又由2x - 1≥0,解得x≥$\frac{1}{2}$.所以方程(x² - 4)$\sqrt{2x - 1}$ = 0的解为x = 2或x = $\frac{1}{2}$.