《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例5] 已知$a,b,c$是互不相等的正数,且$a + b + c = 1$,求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\gt9$。
听课记录：
[变式拓展]
本例条件不变,求证：$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)\gt8$。

答案： 证明:
∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=3+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})＞3+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{c}}+2\sqrt{\frac{c}{b}\cdot \frac{b}{c}}=3+2+2+2=9$.
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞9$.
[变式拓展]
证明:
∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,
∴$\frac{1}{a}-1=\frac{b+c}{a}＞0$,$\frac{1}{b}-1=\frac{a+c}{b}＞0$,$\frac{1}{c}-1=\frac{a+b}{c}＞0$,
∴$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=\frac{b+c}{a}\cdot \frac{a+c}{b}\cdot \frac{a+b}{c}＞\frac{2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ac}\cdot 2\sqrt{ab}}{abc}=8$.
∴$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)＞8$.

4. 已知$x\gt0,y\gt0$,求证：$(x + y)(x^{2}+y^{2})(x^{3}+y^{3})\geq8x^{3}y^{3}$。

答案： 证明:
∵x,y都是正数,
∴$x+y\geqslant 2\sqrt{xy}＞0$,$x^2+y^2\geqslant 2\sqrt{x^2y^2}＞0$,$x^3+y^3\geqslant 2\sqrt{x^3y^3}＞0$.
∴$(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)\geqslant 2\sqrt{xy}\cdot 2\sqrt{x^2y^2}\cdot 2\sqrt{x^3y^3}=8x^3y^3$,即$(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)\geqslant 8x^3y^3$,当且仅当x=y时,等号成立.