《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例3]
已知二次函数 $ f(x) = x^2 - 2x + 3 $. 当 $ x \in [-2, 0] $ 时,求 $ f(x) $ 的最值.
[变式拓展]
1. 本例条件“ $ x \in [-2, 0] $ ”变为“ $ x \in [-2, 3] $ ”,则 $ f(x) $ 的最值为 11.
2. 本例条件“ $ x \in [-2, 0] $ ”变为“ $ x \in [t, t + 1] $ ”,则 $ f(x) $ 的最小值 $ g(t) = $ $g(t)=\begin{cases} t^2 - 2t + 3, & t ＞ 1, \\ 2, & 0 \leq t \leq 1, \\ t^2 + 2, & t ＜ 0 \end{cases}$.

答案： 解:由题意,得f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2,其对称轴为x=1,开口向上.当x∈[-2,0]时,f(x)单调递减.故当x=-2时,f(x)有最大值f(-2)=11;当x=0时,f(x)有最小值f
(0)=3.
[变式拓展]
1.11
2.g(t)={t²-2t+3,t＞1,2,0≤t≤1,t²+2,t＜0}

3. 已知函数 $ f(x) = ax^2 + 2bx + 1, x \in [1, 3] $,且 $ a,b $ 为常数.
(1) 若 $ a = 1 $,求 $ f(x) $ 的最大值;
(2) 若 $ a ＞ 0, b = -1 $,且 $ f(x) $ 的最小值为 $ -4 $,求 $ a $ 的值.

答案： 3.解:
(1)当a=1时,f(x)=x²+2bx+1,x∈[1,3],
易知f(x)的图象关于x=-b对称.
当-b＜2,即b＞-2时,f(x)max=f
(3)=6b+10,
当-b≥2,即b≤-2时,f(x)max=f
(1)=2b+2,
综上,f(x)max={2b+2,b＜-2,6b+10,b≥-2}.
(2)当b=-1时,f(x)=ax²-2x+1,x∈[1,3],又a＞0,
∴f(x)的对称轴x=1/a＞0.
当1/a≤1,即a≥1时,f(x)min=f
(1)=a-1,
∴a-1=-4,解得a=-3,不合题意,舍去.
当1/a≥3,即0＜a≤1/3时,
f(x)min=f
(3)=9a-5=-4,
解得a=1/9,满足题意.
当1＜1/a＜3,即1/3＜a＜1时,
f(x)min=f(1/a)=1-1/a=-4,
解得a=1/5,不合题意,舍去.故a的值为1/9.