《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] (多选)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是 (CD)
A. $y= \frac{2}{x}+1$
B. $y= \begin{cases}-x + 1,x\geq0,\\x + 1,x＜0\end{cases} $
C. $y= \frac{1}{2}x^{2}+4x + 8$
D. $y = |x|$

答案： 选 CD 对于选项 C,$y=\frac{1}{2}x^{2}+4x+8=\frac{1}{2}(x+4)^{2}\geq0$,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项 D,$y=|x|\geq0$,故不能用二分法求零点的近似值.易知选项 A、B 有零点,且可用二分法求零点的近似值.故选 CD.

1. 已知函数$f(x)$的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 (D)

A. 4,4
B. 3,4
C. 5,4
D. 4,3

答案： 选 D 图象与 x 轴有 4 个交点,所以零点的个数为 4;左右两侧的函数值异号的零点有 3 个,所以可以用二分法求解的个数为 3.

2. 用“二分法”求$f(x)= x^{2}-6$的零点时,初始区间可取 (C)
A. $(0,1)$
B. $(1,2)$
C. $(2,3)$
D. $(3,4)$

答案： 选 C 因为$f(0)=0^{2}-6=-6$,$f(1)=1^{2}-6=-5$,$f(2)=2^{2}-6=-2$,$f(3)=3^{2}-6=3$,$f(4)=4^{2}-6=10$,所以$f(2)f(3)＜0$.故零点在区间$(2,3)$内.

[例2] 用二分法求方程$2x^{3}+3x - 3 = 0$的一个正实数近似解(精确度为0.1).
[变式拓展]
1. 若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论又如何?
2. 若本例中的方程“$2x^{3}+3x - 3 = 0$”换为“$x^{2}-2x = 1$”其结论又如何呢?

答案： 解:令$f(x)=2x^{3}+3x-3$,
经计算,$f(0)=-3＜0$,$f(1)=2＞0$,$f(0)f(1)＜0$,所以函数$f(x)$在$(0,1)$内存在零点.即方程$2x^{3}+3x-3=0$在$(0,1)$内有解.
取$(0,1)$的中点 0.5,经计算$f(0.5)＜0$,又$f(1)＞0$,所以方程$2x^{3}+3x-3=0$在$(0.5,1)$内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:
$(a,b)$ 中点 c $f(a)$ $f(b)$ $f(\frac{a+b}{2})$
$(0,1)$ 0.5 $f(0)＜0$ $f(1)＞0$ $f(0.5)$＜0
$(0.5,1)$ 0.75 $f(0.5)＜0$ $f(1)＞0$ $f(0.75)$＞0
续表
$(0.5,0.75)$ 0.625 $f(0.5)＜0$ $f(0.75)＞0$ $f(0.625)$＜0
$(0.625,0.75)$ 0.687 5 $f(0.625)＜0$ $f(0.75)＞0$ $f(0.687 5)$＜0
$(0.687 5,0.75)$ $|0.687 5-0.75|=0.062 5＜0.1$
由于$|0.687 5-0.75|=0.062 5＜0.1$,所以 0.75 可作为方程的一个正实数近似解.
[变式拓展]
1. 解:在本例的基础上,取区间$(0.687 5,0.75)$的中点$x=0.718 75$,因为$f(0.718 75)＜0$,$f(0.75)＞0$且$|0.718 75-0.75|=0.031 25＜0.05$,所以$x=0.75$可作为方程的一个近似解.
2. 解:设$f(x)=x^{2}-2x-1$.
∵$f(2)=-1＜0$,$f(3)=2＞0$.
∴在区间$(2,3)$内,方程$x^{2}-2x-1=0$有一解,记为$x_{0}$.
取 2 与 3 的平均数 2.5.
∵$f(2.5)=0.25＞0$,
∴$2＜x_{0}＜2.5$;
再取 2 与 2.5 的平均数 2.25.
∵$f(2.25)＜0$,
∴$2.25＜x_{0}＜2.5$;
如此继续下去,有$f(2.375)＜0$,$f(2.5)＞0\Rightarrow x_{0}\in(2.375,2.5)$;$f(2.375)＜0$,$f(2.437 5)＞0\Rightarrow x_{0}\in(2.375,2.437 5)$.
∵$|2.375-2.437 5|=0.062 5＜0.1$,
∴方程$x^{2}-2x=1$的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5.