《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 1]
已知奇函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数, $ g(x)= x f(x) $。若 $ a = g(-2) $, $ b = g(1) $, $ c = g(3) $,则 $ a $, $ b $, $ c $ 的大小关系为(C)
A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ b ＜ c ＜ a $

答案： 选 C 法一 易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数，
∴a=g(-2)=g
(2).
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f
(0)=0.
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴g
(1)＜g
(2)＜g
(3)，即b＜a＜c.
法二:特殊化 取f(x)=x，则g(x)=x²为偶函数且在(0,+∞)上单调递增，a=g(-2)=4,b=g
(1)=1,c=g
(3)=9，从而可得b＜a＜c.

1. 已知 $ f(x) $ 是奇函数,且在区间 $ [0, +\infty) $ 上单调递增,则 $ f(-0.5) $, $ f(-1) $, $ f(0) $ 的大小关系是(B)

A.$ f(-0.5) ＜ f(0) ＜ f(-1) $
B.$ f(-1) ＜ f(-0.5) ＜ f(0) $
C.$ f(0) ＜ f(-0.5) ＜ f(-1) $
D.$ f(-1) ＜ f(0) ＜ f(-0.5) $

答案： 选 B
∵f(x)在R上单调递增.
∴f(-1)＜f(-0.5)＜f
(0).

2. 已知偶函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, -2] $ 上单调递增,则下列关系式成立的是(D)
A.$ f\left(-\dfrac{7}{2}\right) ＜ f(-3) ＜ f(4) $
B.$ f(-3) ＜ f\left(-\dfrac{7}{2}\right) ＜ f(4) $
C.$ f(4) ＜ f(-3) ＜ f\left(-\dfrac{7}{2}\right) $
D.$ f(4) ＜ f\left(-\dfrac{7}{2}\right) ＜ f(-3) $

答案： 选 D 法一:
∵f(x)为偶函数，
∴f(-4)=f
(4).又f(x)在(-∞,-2]上单调递增，
∴f(-4)＜f(-$\frac{7}{2}$)＜f(-3)，即f
(4)＜f(-$\frac{7}{2}$)＜f(-3).
法二:
∵f(x)为偶函数，且在(-∞,-2]上单调递增，
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减，其图象关于y轴对称.
又4＞$|-\frac{7}{2}|$＞$|-3|$，
∴f
(4)＜f(-$\frac{7}{2}$)＜f(-3).

[例 2]
已知函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上单调递减,且为奇函数。若 $ f(1) = -1 $,则满足 $ -1 \leq f(x - 2) \leq 1 $ 的 $ x $ 的取值范围是(D)
∵函数f(x)为奇函数，f(1)=-1，∴f(-1)=1.又函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减，-1≤f(x-2)≤1，∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).∴-1≤x-2≤1.解得1≤x≤3.故选D.
A.$[-2, 2]$
B.$[-1, 1]$
C.$[0, 4]$
D.$[1, 3]$

答案： 选 D
∵函数f(x)为奇函数，f
(1)=-1，
∴f(-1)=1.又函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减，-1≤f(x-2)≤1，
∴f
(1)≤f(x-2)≤f(-1).
∴-1≤x-2≤1.解得1≤x≤3.故选D.

3. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在区间 $ [-a - 1, 2a] $ 上的偶函数,且在区间 $ [0, 2a] $ 上单调递增,则不等式 $ f(x - 1) ＜ f(a) $ 的解集为(B)
A.$[-1, 3]$
B.$ (0, 2) $
C.$ (0, 1) \cup (2, 3] $
D.$ [-1, 0) \cup (1, 2) $

答案： 选 B 因为函数f(x)是定义在区间[-a-1,2a]上的偶函数，所以-a-1+2a=0，解得a=1，故区间[-1,2]上f(a)可化为f(|x-1|)＜f
(1)，因为f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以|x-1|＜1，解得0＜x＜2.

4. 已知奇函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, 0) $ 上单调递增,且 $ f(2) = 0 $,则不等式 $ (x + 1)f(x + 1) ＞ 0 $ 的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞)。

答案： (-∞,-3)∪(1,+∞)