《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若$\frac{a}{b} ＞ 1$,则$a ＞ b$. (×)
(2)$a与b$的差是非负实数,可表示为$a - b ＞ 0$. (×)
(3)$\forall x \in \mathbf{R}$,都有$x^2 ＞ x - 1$. (√)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

2. 与$a ＞ b$等价的不等式是 (D)
A.$|a| ＞ |b|$
B.$a^2 ＞ b^2$
C.$\frac{a}{b} ＞ 1$
D.$a^3 ＞ b^3$

答案： D

3. 下列说法正确的为 (C)

A.$x与2$的和是非负数,可表示为“$x + 2 ＞ 0$”
B.小明的身高为$x$,小华的身高为$y$,则小明比小华矮可表示为“$x ＞ y$”
C.$\triangle ABC$的两边之和大于第三边,记三边分别为$a$,$b$,$c$,则可表示为“$a + b ＞ c且a + c ＞ b且b + c ＞ a$”
D.若某天的最低温度为$7℃$,最高温度为$13℃$,则这天的温度$t$可表示为“$7℃ ＜ t ＜ 13℃$”

答案： C

4. 若$x ＜ 0$,则$x - 2与2x - 2$的大小关系是$x-2＞2x-2$.

答案： $x-2＞2x-2$

[例 1] 已知$x \leq 1$,比较$3x^3与3x^2 - x + 1$的大小.
听课记录:
[变式拓展]
把本例中“$x \leq 1$”改为“$x \in \mathbf{R}$”,再比较$3x^3与3x^2 - x + 1$的大小.

答案： 解:$3x^{3}-(3x^{2}-x+1)=(3x^{3}-3x^{2})+(x-1)=3x^{2}(x-1)+(x-1)=(3x^{2}+1)(x-1).$$\because x≤1,\therefore x-1≤0$.而$3x^{2}+1＞0,\therefore (3x^{2}+1)(x-1)≤0,$$\therefore 3x^{3}≤3x^{2}-x+1.$
变式拓展
解:$3x^{3}-(3x^{2}-x+1)=(3x^{3}-3x^{2})+(x-1)=(3x^{2}+1)(x-1).$$\because 3x^{2}+1＞0,$当$x＞1$时,$x-1＞0,\therefore 3x^{3}＞3x^{2}-x+1;$当$x=1$时,$x-1=0,\therefore 3x^{3}=3x^{2}-x+1;$当$x＜1$时,$x-1＜0,\therefore 3x^{3}＜3x^{2}-x+1.$

1. 已知$a$,$b$都是正实数,比较$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a}与a + b$的大小.

答案： 解:$\frac {a^{2}}{b}+\frac {b^{2}}{a}-(a+b)=\frac {a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}}{ab}=\frac {(a-b)^{2}(a+b)}{ab}$,因为$a＞0,b＞0$,所以$a+b＞0,ab＞0$.当$a=b$时,$\frac {a^{2}}{b}+\frac {b^{2}}{a}-(a+b)=0$,即$\frac {a^{2}}{b}+\frac {b^{2}}{a}=a+b$.当$a≠b$时,$\frac {a^{2}}{b}+\frac {b^{2}}{a}-(a+b)＞0$,即$\frac {a^{2}}{b}+\frac {b^{2}}{a}＞a+b$.所以$\frac {a^{2}}{b}+\frac {b^{2}}{a}≥a+b.$