《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 根据下列条件,求一元二次函数的解析式：
(1)过点$(1, 1), (0, 2), (3, 5)$;
(2)图象顶点为$(1, 2)并且过点(0, 4)$;
(3)图象过点$(2, 0), (4, 0), (0, 3)$.

答案： 1.解:
(1)设函数解析式为y=ax²+bx+c(a≠0),
由题设知{a+b+c=1,
c=2,
9a+3b+c=5}解得{a=1,
b=-2,
c=2.
∴函数的解析式为y=x²-2x+2.
(2)设所求函数解析式为y=a(x-1)²+2(a≠0).
整理得y=ax²-2ax+a+2.
∵a+2=4,
∴a=2.
∴函数的解析式为y=2x²-4x+4.
(3)设所求函数解析式为y=a(x-2)(x-4)(a≠0),整理得y=ax²-6ax+8a.
∵8a=3,
∴a=3/8.
∴函数的解析式为y=(3/8)x²-(9/4)x+3.

[例2] 已知函数$y = \frac{1}{2}x^{2} - 3x - \frac{3}{4}$.
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；
(2)若$x \in [1, 4]$,求函数值的取值范围。
听课记录：

答案： 解:
(1)配方,得y=(1/2)x²-3x-3/4=(1/2)(x-3)²-21/4,
所以函数图象的顶点坐标为(3,-21/4),
对称轴方程为x=3,最小值为-21/4,无最大值.
(2)由于3∈[1,4],所以函数值在区间[1,3]上随x的增大而减小,在区间[3,4]上随x的增大而增大,
所以当x=3时,y_min=-21/4,当x=1时,y_max=(1/2)×4-21/4=-13/4,所以x∈[1,4]时,函数值的取值范围为[-21/4,-13/4].